Grant amount：\4290000 （ Direct Cost: \3300000 、 Indirect Cost：\990000 ）

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Authorship：Principal investigator 

Grant amount：\2340000 （ Direct Cost: \1800000 、 Indirect Cost：\540000 ）

本研究課題では，シュレディンガー問題と呼ばれる，初期分布と終端分布が固定されたブラウン粒子の中で最も起こりやすい時間発展を求める問題の数値解法について研究している．初年度である本年度では，文献調査を重ねた結果，当初の研究計画とは異なる方針を採用することにした．
シュレディンガー問題と終端分布制約付き確率制御問題が等価であることは，過去の文献でしばしば言及されているが，所与の確率測度がウィーナー測度の場合を除き，数学的に厳密に示した論文は無かった．本年度の研究では，確率制御問題をマルチンゲール問題により定式化することにより，シュレディンガー問題との同値性を証明した．これにより，連続関数の空間上の確率測度の最適化問題を，より扱いやすい制御問題に帰着可能であるということを明確にできた．
上述の成果を元に，所与の確率測度に対応する生成作用素の拡散項がゼロに収束する極限において，シュレディンガー問題の近似解を構成することに成功した．ドリフト項がゼロ，拡散項が定数の場合に，この極限が二次コストの最適輸送問題の解に収束することが2004年に三上により示されており，本研究成果は最適輸送問題の近似解を与えたことに相当する．最適輸送問題は機械学習分野において盛んに応用されているが，既存の数値解法の多くは離散分布に限定した上で最適化問題を解いている．この離散化による輸送はしばしば非能率的であることがいくつかの実証研究によって明らかになっている．実際の有用性については今後の研究課題だが，本研究成果は分布の離散化に依存しない新たな数値解法を提供する．
以上の成果を纏めた一編の学術論文を現在投稿準備中である．

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Authorship：Principal investigator 

Grant amount：\3640000 （ Direct Cost: \2800000 、 Indirect Cost：\840000 ）

For the inverse problem in stochastic optimal control theory, we have clarified the sufficient conditions for well-posedness in the proposed framework. The numerical solutions are also discussed, and it is confirmed numerically that the penalty parameters are reproduced with high accuracy for some specific problems.
For the numerical analysis of the partial observation stochastic control problem, based on the discussion of the convergence of the kernel-based method for the Zakai equation, which characterizes the partial observation problem for diffusion processes, the original problem is approximated by an finite-dimensional complete observation stochastic control problem and the error evaluation is given. This means that we give a method to approximate the infinite-dimensional Hamilton-Jacobi-Bellman equation corresponding to the partial observation stochastic control problem by that of finite dimension.

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Authorship：Principal investigator 

Grant amount：\1950000 （ Direct Cost: \1500000 、 Indirect Cost：\450000 ）

This study is concerned with rigorous convergence of meshfree collocation methods for nonlinear parabolic equations and linear stochastic partial differential equations, as well as with finding useful classes of basis functions and grid structures. For those equations defined on whole space, the study clarified the classes of basis functions and grid structures for which the corresponding approximation methods rigorously converge to the original equations. Also, these convergences are confined by numerical experiments. These results show that for finite horizon stochastic control problems and filtering problems for diffusion processes, the study reveals numerical methods that guarantee the rigorous convergences and need less computational time as compared with existing methods.

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Authorship：Principal investigator 

Grant amount：\1560000 （ Direct Cost: \1200000 、 Indirect Cost：\360000 ）

This study is concerned with numerical methods for stochastic control problems, and produces a new application method that converges to a true solution for a general class of problems and is easy to implement. Although more studies are needed to reduce the computational time, this method fills up deficiencies in existing methods. Moreover, to get a simpler method, a quadratic approximation method for Hamilton-Jacobi-Bellman equation corresponding to a stochastic control problem is examined. The rigorous error bounds are estimated to find that the quadratic approximation method has a high accuracy when the equation has a quadratic-like boundary and a linear-like dynamics.

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