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Grant amount：\2990000 （ Direct Cost: \2300000 、 Indirect Cost：\690000 ）

Diameter conjecture on flat tori in the unit 3-sphere states that the extrinsic diameter of isometrically immersed flat tori in the unit 3-sphere is equal to π. To prove this conjecture, it is sufficient to prove bi-tangent conjecture on periodic admissible pairs (c_1,c_2) in the unit 2-sphere, which states that if the self-intersection numbers of the closed curves c_1 and c_2 are odd, then c_1 and c_2 have a bi-tangent of the second kind．In this research, we study bi-tangent conjecture on periodic admissible pairs (c_1,c_2), and we proved that the conjecture is true if the curve c_1 contains an negative shell.

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Grant amount：\4680000 （ Direct Cost: \3600000 、 Indirect Cost：\1080000 ）

A class of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space, named "Kobayashi surfaces" is introduced. A surface in this class can be extended to a zero-mean curvature surfaces which changes causal types from space-like to time-like. Existence of infinitely many surfaces among this class which are graphs of functions over the space-like plane. On the other hand, the first example of a zero-mean curvature which contains a light-like line and changes causal types across the line is obtained. Such a property, called the light-like line theorem, are generalized for wider class of surfaces.
For a surface in Lorentzian 3-manifold which changes its causal type from space-like to time-like at a light-like point, it is shown that the mean curvature function converges to zero at the light-like point. In particuler, it is shown that a non-zero constant mean curvature surface cannot change its causal type.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\3380000 （ Direct Cost: \2600000 、 Indirect Cost：\780000 ）

Diameter conjecture on flat tori in the unit 3-sphere states that the extrinsic diameter of isometrically immersed flat tori in the unit 3-sphere is equal to π. In 2011, we obtained a theorem which states that the conjecture is true under the assumption that the mean curvature of the immersion is nonnegative or nonpositive. Unfortunately, there was a gap in the proof of a proposition which was a key assertion to prove the theorem. In this research, using a new lemma on the shape of simple loops in the unit 2-sphere, we corrected the proof of the proposition. As a result, we established the theorem.

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Grant amount：\13780000 （ Direct Cost: \10600000 、 Indirect Cost：\3180000 ）

Isoparametric hypersurfaces with 6 principal curvatures with multiplicity 2 are shown to be homogeneous, which solves one of Yau's problems. As for 4 principal curvature case, we gave a description by using the moment map of spin actions. Transnormal systems are investigated in details.
We show the non-existence of L2 harmonic 1-form on a complete non-compact stable minimal Lagrangian submanifolds in a Kaheler manifold with positive Ricci curvature. Then the number of non-parabolic ends is less than two, and in the surface case, the genus should vanish. The Floer theory on the intersection of a Lagrangian submanifold with its Hamiltonian deformation is investigated. The Gauss images of isoparametric hypersurfaces in the sphere are Lagrangian submanifolds of complex hyperquadric, and in this case, we show that if the multiplicities of the principal curvatures are bigger than 1, then they are Hamiltonian non-displaceable,

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Grant amount：\4160000 （ Direct Cost: \3200000 、 Indirect Cost：\960000 ）

We studied surfaces admitting singularities in some kind of three-dimensional manifolds of constant curvature, requiring them to have good properties from the differential-geometric viewpoint. (Note that non-Euclidean space of constant curvature have interesting features beyond our common sense.) Concerning linear Weingarten surfaces in hyperbolic space, we had a global representation formula, criterion for the shape of singularities, and a result on the orientability and the co-orientability. Concerning CMC-1 faces in de Sitter space and maxfaces in Lorentz-Minkowski space, we had results on the orientability and the co-orientability. At the same time, the classification of CMC-1 faces having two ends were obtained, and the classification of maxfaces having three ends were obtained.

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Grant amount：\16510000 （ Direct Cost: \12700000 、 Indirect Cost：\3810000 ）

In this research project we constructed the notion of 'lightlike curvature' for spacelike submanifolds of Lorentzian space forms by using the notion of 'lightcone Gauss maps'.As an application of the theory of Legendrian singularities, we described the singularities of the lighhtlike hypersurface along a spacelike submanifold. Moreover, we constructed a geometric framework to describe the caustics of world sheets which is an important notion in the theory of general relativity and the brane world scenario. We clarified the relation of the caustics and the wave front propagations iby using the theory of graph-like Legendrian unfoldings.

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Authorship：Principal investigator  Grant type：Competitive

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Grant amount：\4160000 （ Direct Cost: \3200000 、 Indirect Cost：\960000 ）

We obtain the following three results:
(1) Constructions of generalized Kaehler structures and unobstructed deformations:We established the stability theorem of generalized Kahler structures and constructed many interesting examples. As an application, we showed that there exists a non-trivial bihermitian structure on compact Kahler surfaces with non-zero holomorphic Poisson structures.
(2) New constructions of generalized complex 4-manifolds by logarithmic transformations:We explored the construction to apply arbitrary logarithmic transformations and obtain interesting generalized complex 4-manifods with arbitrary large number of type changing loci.
(3) Constructions of generalized Calabi-Yau metrics and generalized hyperKaehler structures:

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Grant amount：\15340000 （ Direct Cost: \11800000 、 Indirect Cost：\3540000 ）

We investigated, Weierstrass-type representation formula, global properties of several classes of surfaces with singularities, such as flat surfaces in hyperbolic 3-space, maximal surfaces in Minkowski 3-space, CMC-1 surfaces in de Sitter 3-space, and improper affine sphere in affine 3-space, and obtained a charctreization of completeness, Osserman-type inequalis etc.
In addition, flat trinoids in hyperbolic space and CMC-1 2-noids in de Sitter 3-space are classified. On the other hand, as a basic tool of differential geometry of wave front, we introduced a notion of "sinular curvature" and investigated a rdelationship between singular curvature and behavior of Gaussian curvature. As a result, we obtained Gauss-Bonnet type formula for wave fronts. Moreover, as an intrinsic formulation of wave fronts, we introduced a notion of "coherent tangent bundles" and gave an application of their duality.

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Grant amount：\38740000 （ Direct Cost: \29800000 、 Indirect Cost：\8940000 ）

(1) In a joint work (Tohoku Math. J., 65, 2013, 243-252) with Y. Nakagawa, we generalized Sakane-Koiso's construction of Kaehler-Einstein metrics to the Kaehler-Ricci soliton case where the Futaki invariant is non-vanishing. In this case, we obtain Sasaki-Einstein metrics in place of Kaehler-Einstein metrics.
(2) For the Kaehler-Einstein metric on the blowing-up of the complex projective plane at 3 non-colinear points, its detailed description was obtained by asymptotic expansion of the solution of a hyperbolic affine sphere equation on a bounded domain in the real 2-plane (AMS/IP Stud. Adv. Math. 48, 219-229).
(3) As to the Donaldson-Tian-Yau Conjecture, we proved: i) Asymptotic relative Chow stability implies the existence of a sequence of polybalanced metrics (Osaka J. Math. 48, 2011, 845-856); ii) strong relative K-stability implies asymptotic relative Chow stability (joint work with Y.Nitta).

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Grant amount：\27560000 （ Direct Cost: \21200000 、 Indirect Cost：\6360000 ）

We classified almost all isoparametric hypersurface, and characterize them in terms of the moment map, which proves the evidence of a relation with integrable systems. A basic theory of surfaces with singularities, and a new method using the Legendre map have been established. Via the Riemann-Hilbert correspondence, the dynamical system of Painleve equations is investigated, and the view point of the chaos has been developed. The modularity of higher genus Gromov-Witten and the mirror symmetry are discussed. A surface with potential appeared in quantum cohomology is constructed, which contributes to the tt* geometry.

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Grant amount：\15680000 （ Direct Cost: \12800000 、 Indirect Cost：\2880000 ）

In this research project, we applied Singularity Theory to some areas in Mathematics such as Differential Geometry, Symplectic Geometry, non-linear Partial Differential Equations etc, so that we have obtained several results. Moreover, we have obtained related results on some boundary areas such as Astrophysics etc. Especially, we applied Singularity Theory to Differential Geometry of submanifolds in several kinds of space forms. Then we constructed new geometries (Horospherical Geometry, Slant Geometry) and induced some new invariants. We also clarified the geometric meanings of these invariants. As a result, we have a geometric characterization of the singularities andthe shape of event horizons

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Grant amount：\9900000 （ Direct Cost: \8100000 、 Indirect Cost：\1800000 ）

We have concentrated on the study of the once-punctured torus, the simplest hyperbolic surface, believing that it would bring us to deep understanding of general hyperbolic surfaces, and obtained the following results. (1) We gave a complete description and proof to Jorgensen's theory on quasifuchsian punctured torus groups. (2) We found an intimate relation between the following two tessellations associated with a punctured torus bundles over the circle ; the Cannon-Thurston-Dicks fractal tessellation and the cusp triangulation induced by the canionical decomposition. We also proposed a conjecture concerning the canonical decompositions of punctured surface bundles over the circle. (3) We gave a complete characterization of those essential simple loops on the bridge sphere of a 2-bridge knot which are null-homotopic in the knot complement.

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Grant amount：\8740000 （ Direct Cost: \7300000 、 Indirect Cost：\1440000 ）

Properties of certain classes of surfaces with singularities are investigated with Weirstrass-type representation formula. For example, global behavior of flat fronts, and behavior of singularities of maximal surfaces in Lorentz-Minkowski 3-space and mean curvature one surfaces in de Sitter 3-space are investigated.
On the other hand, as a general theory of differential geometry of singularities, a notion of singular curvature of the singular points of wave fronts is defined, and Gauss-Bonnet type formulas are obtained.

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Grant amount：\27820000 （ Direct Cost: \21400000 、 Indirect Cost：\6420000 ）

(1) Related to the existence problem of extremal metrics, we studied various kinds of stabilities for manifolds For instance, we succeeded in showing that Chow-Mumford stability and Hilbert-Mumford stability are asymptotically equivalent (Chow-Mumford stability implies HiItert-Mumford stability by the work of Fogarty, while nothing was known even asymptotically about its converse).
(2) Associated to the Monge-Ampere equation for the Kahler-Einstein metric on an Einstein toric surface, we have a hyperbolic affine sphere equation with Dirichlet condition defined on a bounded convex C^<2> domain in R^<2>, and for the solution of the equation, we obtain a very explicit asymptotic expansion along the boundary.
(3) It is known that the anticanonical bundle of a toric or Kahler Einstein Fano manifold admits a Ricci-flat Kahler metric inducing a Sasaki-Einstein metric on a suitable quotient. We studied analogous examples for anticanonical bundles of Fano manifolds with Kahler-Ricci solitons.

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Grant amount：\10400000 （ Direct Cost: \10400000 ）

We get the following results :
1.A maximal surface which is given by the real part of holomorphic isotropic immersion into C^3 is called a maxface. As a joint work with K.Yamada, the head investigator Umehara gave a Weierstrass-type representation formula for maxfaces, and gave an Osserman-type ineqality for complete maxfaces. The equality holds if and only if all ends of the surfaces are properly embedded. Moreover, as a joint work with K.Saji, S.Fujimori, and K.Yamada, the head investigator Umehara gave a criterion for the cuspidal cross cap, and showed that generic singular points for maxfaces consists of cuspidal edge, swallowtail and cuspidal cross cap.
2.As a joint work with K.Saji and K.Yamada, the head investigator Umehara studied the behavior of Gaussian curvature near the cuspidal edge and the swallowtail. In particular, the new geometric invariant on cuspidal edges called the singular curvature is introduced, and show that the integration of the singular curvature on the singular set is closely related to the Euler number of the surface.
3.A curve γ in the real projective plane is called anti-convex if for each point p on the curve, there exists a line passing through the point which does not meet y other than p. As a joint work with G.Thorbergsson, the head investigator Umehara studied the inflection points on anti-convex curves, and showed that the number of inflection points I and the number of the independent double tangents D satisfies the relation I-2D=3.

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Grant amount：\9200000 （ Direct Cost: \9200000 ）

1.W rewrote the Weierstrass-type representation formula for flat surfaces in hyperbolic 3-space in the form without integration (Darboux-type formula), and classified complete flat surfaces with small numbers of ends. 2.We pointed out the class of ambient spaces for which an analogue of Weierstrass-type (Bryant) representation formula for mean curvature one surfaces in hyperbolic 3-space holds. 3.We found criteria for singularities (cuspidal edges, swallowtails, cuspidal cross caps) which are generic singularities of fronts or frontals. 4.We established fundamental notions of flat fronts in hyperbolic 3-space, and investiagted properties of singularities of such surfaces. 5.We defined a certain class of maximal surfaces with singularities in Minkowski 3-space (called maxface), and investigated their singularities.

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Grant amount：\31460000 （ Direct Cost: \24200000 、 Indirect Cost：\7260000 ）

The most natural variational problem of closed submanifolds in the 3-euclidean space is the elastic curves in 1-dimensional case, and the constant mean curvature surfaces in 2-dimensional case. These problems are extended naturally to n-euclidean spaces as curves or hyper surfaces. However, we don't have good variational problem of closed mid-dimensional submanifold in n-dimensional euclidean spaces In this research, we defined the following new good variational problem. Consider pairs (S, dS) of minimal submanifold S and its boundary dS. Given the volume of dS, we seek a minimal submanifold S whose volume attains maximum. A solution of this variational problem is called a max-min submanifold. We got the following results.
1. The pair of a totally geodesic submanifold and its constant mean curvature surfaces is max-min submanifold.
2. In particular, a round sphere of any dimensional Euclidean space with any codimension is max-min submanifold.
3. The solution (2) is stable.
4. A pair of a minimal cone C and the intersection of C and the unit sphere is max-min submanifold.
5. We can construct non-homogeneous examples in the torus.
6. Since the variational problem is conditional, two stabilities are defined. Let k be the trace of second fundamental form for outer unit vector. If k is positive, then the solution is A-unstable. If k is negative, then A-stability and B-stability are equivalent.

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Grant amount：\2800000 （ Direct Cost: \2800000 ）

I proved the homogeneity of isoparametric hypersurfaces with six principal curvatures with multiplicity two, which I had been tackling for several years. I also got a new proof of Dorfmeister-Neher's theorem which treats the multiplicity one case, in a unified manner.
Investigating the resulted homogeneous hypersurfaces, I got the following As was known in the case of multiplicity one, the hypersurfaces with 6 principal curvatures are given as a fibration over those with 3 principal curvature, where the fibers aret otally geodesic spheres. In the case of multiplicity two, the fiber dimension is six, while in the case of multiplicity one, this is three. Discovery of the fibration structure is an extension of our former results on the degenerate Gauss mapping which was done with G. Ishikawa and M. Kimura.
Moreover, using the fact that the family of isoparametric hypersurfaces fill the ambient space, we get an interesting relation between 13-dimensional sphere and 7-dimensional sphere. Furthermore, using that these hypersurfaces are given as orbits of the exceptional group G_2, we can show that there exists a metric on S^7-CP^2 of which holonomy group is G_2. From this, a real open version of Calabi conjecture will be considered, i.e., when a compact Riemannian manifolds with positive Ricci curvature from which a certain part removed, admits a metric with G_2 holonomy? In this way, hypersurfaces obtained as G_2 orbits suggest us very important and interesting problems.

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Grant amount：\4000000 （ Direct Cost: \4000000 ）

We get the following results:
1. The head investigator Masaaki Umehara proved that the equality of the Osserman inequality for minimal surfaces in Euclidean n-space holds if and only if each end has no self-intersection and asymptotic to a catenoid or a plane, which is a joint work with M. Kokubu and K. Yamada. Moreover, we construct a new example which attains the equality.
2. The head investigator Masaaki Umehara gave countable many new irreducible constant mean curvature one (i.e. CMC-1) surfaces in hyperbolic 3-space whose ends all irregular, which is a joint work with W. Rossman and K. Yamada.
3. The head investigator Masaaki Umehara gave an elementary proof of the Small's representation formula for CMC-1 surfaces in hyperbolic 3-space and also got a similar representation formula for flat surfaces in hyperbolic 3-space, which is a joint work M. Kokubu and K. Yamada. A flat surface in hyperbolic 3-space called a flat front if it admits singularity but can be lifted to a Legendrian immersion into the unit cotangent bundle of hyperbolic 3-space. We showed flat fronts with complete ends satisfy an Osserman-type inequality with respect to the degree of the hyperbolic Gauss maps. The equality holds if and only if all ends have no self intersection. Furthermore, we classify flat front of genus zero with embedded regular 3-ends and also construct an example of genus one with five regular embedded ends.

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Grant amount：\2900000 （ Direct Cost: \2900000 ）

Mirror symmetry is one of important topics in' the geometry of manifold of special holonomy.We have investigated five dimensional supersymmetric gauge theories using the principle of local mirror symmetry. Based on the Hirzebruch surface Fa and its blow ups at N(< 5) points, we obtain a family of elliptic curves, from which the prepotential of five dimensional supersymmetric gauge theory compactified on S1 can be derived. Our results implies a new insight into the instanton expansion of the prepotential. It is expected that five dimensional supersymmetric gauge theories are deeply related to the geometry of rational elliptic surface and the theory of simple elliptic singularities.
We have also discussed deformations of our Spin(7] metrics within a formal power series expansion. Using a metric ansatz of cohomogeneity one with the principal orbit SU(S)/U(l), we have found new explicit metrics of Spin(7) holonomy. They are expected to describe local geometry of an isolated conical singularity which is developing when a SUSY 4-cycle CP2 shrinks,in a Spin(7} manifold. Our new metric is asymptotically conical in the sense that asymptotically there is a circle S1 with a finite radius, which is important from the viewpoint of M theory.We have also discussed deformations of our Spin(7] metrics within a formal power series expansion. Hence they are regarded as a higher dimensional analog of Taub-NUT metric and Atiyah-Hitchin metric in four dimensions. We hope these metrics have applications to M theory compactification.

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Grant amount：\2900000 （ Direct Cost: \2900000 ）

We gave a new simple proof of the homogeneity of isoparametric hypersurfaces with six principal curvatures with single multiplicity. Concerning this, we investigate submanifolds in the spheres with degenrate Gauss mapping, and constructed many examples satisfying the equality in the Ferus inequality. All focal submanifolds of isoparametric hypersurfaces and all isoparametric hypersurfaces with degenerate Gauss mapping are austere submanifolds. It is known that the canonical embedding of the normal bundle of a (cone of) austere submanifold gives a special Lagrangian submanifold. We have shown that a proper complete austere submanifolds in R^n have the same homotopy type as a CW complex of dimension not larger than half dimension of the submanifold. This is interesting from the view point of volume minimizing normal bundles. As an inverse problem of splitting Gauss maps of surfaces of constant mean curvature in S^3, we get necessary and sufficient conditions to get surfaces of constant mean curvature from a pair of harmonic maps intoS^2.
Kaneyuki studied orbit of generalized conformal transformation groups. Uchiyama investigated singularities of a non-linear ordinary differential eqquations. Yokoyama completed the theory of extended DS diagram. Tamaru classified isotropy orbits of certain symmetric spaces of non-compact type. Aiyama gave many kind of reperesentation formulas for surfaces, especially Langarnian surfaces in C^2.Ishikawa gave a topological classification of developable surfaces of space curves and studied singularities of contact manifolds. Udagawa described harmonic maps from tori into Grassmannian manifolds by using elliptic functions. He also studied circles in Hermitian symmetric spaces. Umehara studied singularities of curves, ends of minimal surfaces and concerning with Gauss map of these, studied an intrinsic properties of surface with constant curvature 1.Kimura constructied many homogeneous examples of circle and sphere bundles over submanifolds.

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Grant amount：\3600000 （ Direct Cost: \3600000 ）

We get the following results :
1. The head investigator Umehara gave a classification for complete constant mean curvature 1 surfaces (i.e. CMC-1 surfaces) in the hyperbolic 3-space H^3 of total absolute curvature (resp. the dual total absolute) curvature less than or equal to 4π. Moreover, he gave non-existence and existence results when the surfaces has dual total curvature less than or equal to 8π. These results are shown in a joint work with Rossman and Yamada.
2. The head investigator Umehara, Kokubu, Takahashi and Yamada gave a theory of surfaces with holomorphic Gauss maps in the duals of compact semisimple Lie groups, which is a generalization of CMC-1 surfaces in H^3, and show an analogue of Chern-Osserman Inequality for minimal surfaces in the Euclidean π-space. Moreover, they gave several non-trivial examples of such surfaces and showed mean curvature of these surfaces are all proportional to the sectional curvature of the ambient space.
3. The head investigator Umehara and Bobenko investigated the monodromy of constant mean curvatures in H^3 and showed that the number of isometric immersions with a prescribed constant mean curvature into H^3 on a given Riemannian 2-manifold is finite.

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Grant amount：\2000000 （ Direct Cost: \2000000 ）

引き続き,コンパクトシンプレクティック多様体に対する間隙定理の証明を考えるともに,本年度は,コンパクトシンプレクティック多様体上の可微分直線束に対するコホモロジィ群を定義することを試みた.これは,『任意のコンパクトケーラー多様体は,射影代数多様体まで変形可能である』ことの証明と密接に関連する.昨年度までの研究により,この問題は,適当な意味で十分正な可微分直線束に価を持つ微分形式に対するディラック型方程式の解の重み付きL2評価に帰着されることは,解っていた.当初は,この方程式は,常に解けると考えていたが,解の存在に対する障害が存在することが,解った.障害の空間は有限次元で,一点で与えられた位数以下の極を持つディラック型方程式の解の空間と同一視される.この空間により,コンパクトシンプレクティック多様体上の可微分直線束に対するコホモロジィ群が定義できる可能性があることが解った.上述の障害空間は,問題のディラック型作用素の適当なL2空間での随伴作用素の解空間である.解の存在と評価は,この場合楕円型作用素の,0固有値が存在する場合の,次の0でない固有値の絶対値の下からの評価に帰着される.通常,固有空間自体は,不安定であるため,この評価は不可能である.ケーラー多様体の変形の問題の場合には,一般のデータに関して方程式を解く必要はなかった。しかしコンパクトシンプレクティック多様体に対する間隙定理の場合には,もう少し一般のデータに関して方程式を解く必要があり,ケーラー多様体の変形の問題の場合の証明は,そのままでは,適用できないことが解った.

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Grant amount：\27400000 （ Direct Cost: \27400000 ）

We studied types of Jacobi fields of constant mean curvature surfaces. If the rotational surface is critical in the sense of stability, the Jacobi fields are usually rotationally symmetric. However, we found also rotationally non-symmetric one. The existence of non-symmetric Jacobi fields is not surprising, but the existence on the critical surface means that even symmetric stable solution of a variational problem may splits into non-symmetric solutions.
We proved that the hemi-sphere is the unique stable solutions of the free boundary problem of constant mean curvature surfaces with boundary in a plain. And, got a sufficient condition on the size of boundary and surface to be unique in the class of same boundary.
We classified homogeneous Einstein metrics on certain homogeneous spaces. In the classification, simplification of the algebraic equation and the efficiency of the algorism of solving algebraic equations are essential.
We prived that compact k-symmetric twister bundles over compact symmetric spaces are projected to compact symmetric spaces by primitive maps of finite type.
We got new estimates from below of the spectrum of general infinite graphs. The estimate is sharp on many cases.
We proved that global Sobolev-Bergman kernel can be analytically continued with respect to its Sobolev degree.
We generalized the theorem of Omori-Yau concerning the growth of the volume on complete riemannian manifold and the maximum principle.
We gave a sufficient condition to be strong solution of the weak solution of a boundary value problem with non constant rank of boundary matrix.

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Grant amount：\3500000 （ Direct Cost: \3500000 ）

We get the following results :
1. The head investigator Masaaki Umehara gave a flux formula for surfaces of constant mean curvature 1 (i.e. CMC-1 surfaces) in the hyperbolic 3-space as an analogy for that of minimal surfaces in the Euclidean space, which is a joint work with Wayne Rossman (Kobe Univ.) and Kotaro Yamada (Kumamoto Univ.). As an application, he and K.Yamada classified all conformal metrics of constant curvature 1 with three conical singularities on 2-sphere.
2. The head investigator Masaaki Umehara and Gudlaugur Thorbergs-son (Koln Univ.) gave a refinement of the classical four vertex theorem on simple closed curves, where they gave an abstract intrinsic approach regarding the theorem as a kind of homology theory on S^1 whose first Betti number is the number of vertices. As an application, they prove a four vertex theorem on some kind of space curves and also gave a new proof of the four vertex theorem for diffeo-morphisms on S^1. Moreover, they generalized the theory for much higher order geometry and gave sharp estimates for affine vertices on simple closed curves.
3. The investigator Koiso investigated the elasticas in a Riemannian manifolds by analytic approach.

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Grant amount：\5400000 （ Direct Cost: \5400000 ）

The purpose of our research was :
(1) to reduce the vortex filament equation to the nonlinear Schrodinger equation.
(2) by the reducing, to prove the existence of solutions.
(3) application of them.
We got the following results corresponding to each.
(1) We analyzed the problem on three-dimensional homogeneous spaces, which heavily reflect the differential geometric aspect of the equation. As the result, we have shown that the vortex filament equation corresponds to a nonlinear Schrodinger equation similar to the case of the euclidean space.
(2) We proved the existence of the solutions of the nonlinear Schrodinger equation. It implies that there is a short time solution of the vortex filament equation.
(3) In the above procedure, we have shown that the short time existence of the solutions of the nonlinear Schrodinger equation is stable under adding certain terms. On the uniqueness of the solution, we have proved that it always holds.

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Grant amount：\2400000 （ Direct Cost: \2400000 ）

1.円周上の穴開きトーラス束の解消トンネルを完全に分類し、それが、Jprgensen,Floyd-Hatcherにより与えられたイデアル分解の“特別な"辺にアイソトピックであることを観察した。これは「解消トンネルはcanonical deccmpositionの辺にアイソトピックであろう」という予想を支持することになる。又、Jprgensenの未完成論文「On pairs of punctured tori」の結果を仮定すれば上記の結果はこの予想がトーラス束については正しいということを導びくため、Jprgensenの未完成論文を理解し証明を完成する努力をした。残念ながら証明を完成させることができなかったが、Jprgensenの基本的アイデアは理解できた様に思える。
2.特別交代絡み目の最小種数がイフェルト曲面を完全に分類し、それから構成される垣水複体MS(L)の構造を決定した。特にその実現|MS(L)|はn次元球体に同相であることを示したので、これは垣水予想「|MS(L)|は可縮である」の部分的解決を導びく。
絡み目のアーベル被服に関して以前得ていた結果、方法を複素曲面のアーベル分岐扱嚢の不正則類の研究に応用することにより、その不変量が“特別な"polynonial perrodiatyを持つことを証明した。

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Grant amount：\2000000 （ Direct Cost: \2000000 ）

今年度は、研究計画にある通り、一次元球面からコンパクト多様体への写像全体のなす空間上のファインマン積分とその摂動展開の研究を行った。被積分函数(汎函数)としては、さまざまなものが考えられる:曲線の長さ、エネルギー、BRST量子化から導かれるもの、等。
汎函数が、曲線の長さの場合には、Colin de Verdienが実質的にファインマン積分の摂動展開に相当すると思われる研究をしている。我々はまず、BRST量子化から導かれる汎函数に彼の手法を適用して、ファインマン積分の摂動展開に対応するものをもとめることを試みた。ただし技術上の理由から、汎函数の停留点集合が(無限次元)多様体をなす、という仮定をおいた。深谷によるモ-スホモトピー理論の双対版に対応するものと関連つけられると予想されるが、展開の各項がどのような幾何学的構造の不変量となっているのかが明確にわかるような表示はまだえられていない。
今後の課題は、よりよい表示をえることと、汎函数の停留点集合が上の仮定を満たさない場合に、さらに摂動を加えて、仮定を満たす場合に帰着させることである。

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Grant amount：\1200000 （ Direct Cost: \1200000 ）

研究計画に基づき、研究を行い、下記のような成果を得た。
1.与えられた3次元双曲型空間内H^3の完備平均曲率1の曲面について、そのエンドの周りのリーマン計量の発散の位数と、対応する双対曲面の計量の位数との関係を調べることにより、双対曲面が完備になること及び双対曲面に関するOssermanの不等式を導いた。
2.さらに上述の双曲版Ossermanの不等式の等号が成立することと、曲面が各エンドの周りで自己交叉を持たないことが同値であることを示し、論文にまとめた。(1,2は熊本大学山田光太郎氏との共同研究)
3.3次元Euclid空間R^3の極小曲面はH^3の平均曲率1の曲面の極限と考えられる。大阪大学加藤信氏、熊本大学山田氏との共同研究で以前から「総和が0になるn個のベクトルの組を与えたとき、それらをフラックス・ベクトルとして持つR^3の極小曲面が存在するか。」という、フラックス公式の逆問題に取り組んできたが、今回3以上の任意の自然数nに対し、総和が0のほとんどすべてのn個のベクトルの組に対して、この問題を肯定的に解決し、論文にまとめた。
4.上記の研究のため、幾何、解析、代数の図書を必要に応じ購入し、さらに研究会およびシンポジウム等に参加し、多くの研究者と研究連絡を行った。

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Grant amount：\1200000 （ Direct Cost: \1200000 ）

研究計画に基づき研究を行い、下記のような成果を得た。
1.与えられた3次元Euclid空間R^3の極小曲面をGauss写像とHopf微分を不変にしながら3次元双曲型空間H^3の平均曲率1の曲面へ変形する問題について、東北大のWayne Rossman氏および熊本大の山田光太郎氏との共同研究により、一つの充分条件を与えることに成功し、多くの対称性をもつ、genusの高いH^3の完備有限全曲率をもつ平均曲率1の曲面を数多く新しく構成した。
さらに上述の研究過程において、H^3の平均曲率1の曲面の双対性が本質的に重要な役割を果たすことが判明した。この双対性の応用として与えられたGauss写像とHopf微分をもつH^3の平均曲率1の曲面の変形空間が初期曲面の性質に応じてH^3の0、1あるいは3次元の全測地的部分多様体の構造をもつことを証明した。
2.上述の問題に関連し、本研究では、「総和が0になるベクトルの組を与えたとき、それらをフラックス・ベクトルとしてもつR^3の極小曲面が存在するか」というフラックス公式の逆問題に取り組み、エンドの数が4の場合には大阪大学の加藤信氏、熊本大学の山田氏と共同研究によってこの問題は総和が0のほとんど全てのベクトルの組に対して逆問題が解け、一方では、逆問題が解けないような例外的なベクトルの組があることも明らかにした。
3.上記の研究のため、幾何、解析、代数の図書を必要の応じ購入し、さらに研究会およびシンポジウム等に参加し、多くの研究者と研究連絡を行った。

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Grant amount：\2000000 （ Direct Cost: \2000000 ）

本研究の研究目的は通常の運転方程式(非線型波動方程式)の解が粘性抵抗無限大の状態において非線型熱方程式型の運動方程式の解に収束することを示すことであった。その第一段階として,Eells-Sampsonの調和写像に対応する半線型熱方程式と半線型波動方程式を考察した.
結論として,目的は達成できた.
まず最初に,一次元の半線型波動方程式∇_t∂_tφ+μ∂_tφ=∇_x∂_xφの解に変換τ=μtを施したものは,粘性抵抗μが無限大のとき半線型熱方程式∂_tφ=∇_x∂_xφの解に収束することが証明できた.この場合は,一次元という特殊性で半線型波動方程式の解の存在が知られているため,議論が幾分簡単であるが,下に述べる一般化の本質的な部分は含んでいる.
次に,この結果を一般次元に拡張した.拡張は上の方程式の∇_x∂_xをEells-Sampsonの半線型楕円型作用素Δ^〜に置き換えて行う.この場合は,半線型波動方程式の解の存在が知られていないが,粘性抵抗が十分に大きければ解が存在するということが同時に示せた.粘性抵抗が小さい場合の解の存在は今後の課題である.
これらの結果は,解析学における特異摂動の結果の一つである.しかしながら,時間変数に関して非線型の方程式を取り扱っているという点で本質的に新しい.実際の証明は,結果的にあまり幾何学的な論議をせずに行われている.従って,上記の結果も,幾何学的な言葉を用いずに記述できる.おおざっぱに言えば,時間変数での微分に関する非線型性がμの発散に比べて十分小さい半線型波動方程式においては上の結果が成立する.

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Grant amount：\900000 （ Direct Cost: \900000 ）

研究計画に基づき、定曲率-1の3次元双曲型空間H^3内の完備平均曲率1の曲面について研究を行い、下記のような成果をおさめた。
1.H^3内の平均曲率1の曲面に対して、双曲的Guass写像と第二Guass写像の二つが定義される。
Wayne Rossman氏、山田光太郎氏との共同研究により、これらの曲面に対し、二つのGauss写像Gとgを入れ換える操作によって、その双対曲面が構成され、-方の合同変形が他方の非自明な変形に対応することを示し、その関係を明らかにした。
2.さらに、上述の結果を用いて、種数が1以上のH^3内の完備有限全曲率をもつ平均曲率1の曲面に対し、高い対称性をもつ例を、対応するR^3の極小曲面の変形として数多く構成することに成功した。(種数0の場合はすでに筆者等によって多くの例が知られている。)
以上の成果について、研究発表を行なうとともに、幾何学、解析学の図書を購入し、多くの研究者と研究連絡を行なった。

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

磁場におけるスピン無し粒子に対する相対論的量子化ハミルトニアンの本質的自己共役性及び自己共役拡大作用素のスペクトルの構造を調べることは本研究の中心的課題でありまた出発点でもあった。国内外の研究集会への参加や、多くの研究者を招待して研究交流を行うなど、内外の研究者たちとの積極的な交流などにより、この課題についてこれまでに得られていた結果につけ加えて電磁場におけるハミルトニアンについてもスペクトルの構造を空間次元が2または3等の特別な場合について調べることが出来た。しかしながら得られた結果は、非相対論的ハミルトニアンの場合に比べるとまだまだ不十分であり、例えば定数磁場の場合あるいは磁場のベクトルポテンシャルの滑らかさが小さい場合等にスペクトル構造がどの様になるかなど今後に残された課題は多い。
また、擬微分作用素論の偏微分方程式論への応用についてはこれまでの得られている多くの結果につけ加えて、初期値問題の解の構造、特異性の伝播など特に連立の双曲型方程式についても研究成果を挙げることが出来た。シュレディンガー方程式に対する初期値問題についても基本解のパラメーターに関する挙動について擬微分作用素を用いて研究成果を挙げることが出来た。
さらに、近年特に注目されている角のある擬微分作用素論について、その代数、有界性あるいは多重表象の作用素の研究等についてセミナーを繰り返し行う等擬微分作用素論の新しい方向に研究を展開することができた。この課題は今後の大きな研究課題となるであろう。

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Grant amount：\800000 （ Direct Cost: \800000 ）

上記課題と関連して,R^3上のYang-Mills-Higgs場と調和写像の関係を研究した。
Yang-Mills-Higgs場(A,〓)とは、R^3上のG束Pに対し、その上の接続Aと随伴束の切断〓(Higgs場という)であって、作用積分汎関数の臨界点になっているもののことである。Euler-Lagrange方程式はAの曲率と〓の共変微分に関する式で表される。
Higgs場に無限遠ゲージ条件を課すことによって、Higgs場は無限遠球面S^4_∞から構造群GのLie代数gの随伴作用軌道への写像〓_∞を定義する。随伴軌道は複素旗多様体の一般化であり、自然な不変複素溝造と不変Kahler計量をもつコンパクト複素等質空間である(コンパクト型エルミート対称空間はその例)。
(A,〓)についての漸近的条件のもとで、〓_∞の写像としての正則性、調和写像であること等の議論を行った。R^3をより一般の開完備3一多様体(無限遠境界がこの場合 コンパクトリーマン面)におきかえても同様の議論が成立。
Yang-Mills-Higgs場およびモノポールがより一般の奇数次元多様体上自然に定義されることが最近わかった。そのような一般の多様体は接触多様体とよばれているもので、モノポールの一般化等今後の研究とされる。

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Grant amount：\1900000 （ Direct Cost: \1900000 ）

本研究は,複素多様体の基本群と分岐被覆を多方面から具体的に研究する事を目的としたものである。複素多様体Mから超曲面Bをぬいた残りの開集合M-Bの基本群の部分群の共役類と,高々Bで分岐するMの被覆の同型類の間には,ガロア理論的対応関係がある。そのため,M-Bの基本群の計算が重要である。本研究は,ザリスキーのアイデアにもとづいて,M-Bの基本群を計算する,ひとつの方法を確立した。そして,この方法を用いて,多くの具体的で重要な例の計算に成功した。たとえば,複素射影空間内で,判別式の零点集合を考え,これをさまざまな部分空間Mで切ると,興味深い超曲面Bが生ずる。この場合のM-Bの基本群の計算をいくつか実行した。さらに,これらの基本群と,一次系の幾何学との関連をあきらかにした。
一方,基本群と分岐被覆の一般論の整備を実行中,次の二定理が得られた。定理1.Xを有限基本群を持つ複素多様体,GをXの自己同型群の有限部分群とするとき,商空間X/Gの正則点全体の基本群は有限である。定理2.Mを有限基本群をもつコンパクト複素多様体,BをMの超曲面で,M-Bの基本群が可換であるとする。Xを高々Bで分岐するMの被覆とし,Xをその特異点除去とする。このとき,Xの基本群は,有限かつ可換である。とくにXの第一ベッチ数は零である。
一方,有限または無限不連続線形群があたえられたとき,これをモノドロミー群に持つ,一般フックス型線形微分方程式系(パッフ系)の不変式論的一般構成法を確立した。この方法の,いろいろな応用が今後の課題である。

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Grant amount：\2000000 （ Direct Cost: \2000000 ）

臼井は2次特殊線形群の水平表現について研究をした。
重さWの偏極Hodge構造の分類空間Dは付隨するHodge群Gの作用で均質空間となる。GとしてG〓=SL(2,R)、Dとして上半平面gをとった場合が、このようなもののうち最も簡単なものである。一般なG,Dに対して、表現P:G_1→GがDの点rで水平であるとは、Lie環の準同型写像p*:g_1→gが、それぞれi←g,rからg_1,gの複素化上に引き起されたHodge構造に関して、(O,O)型の射となっていることと定義する。g_1中の対角行列で成分が1,-1のものをyとし、Y=P*y←gとすると、上の対(p,r)は対(Y,r)で一意的に決まる。では、gの半単純元とDの点の対(Y,r)全体のなす集合中で、上のようにrで水平なG_1の表現pから引き起されるものはどのようなものであるか。これに対する数値的な特微付けを与えたのが今回の主要結果である。これを使い、数論的群ΓによるDの商Γ＼Dに1助変数のII型退化に対応する点全体を付け加えた集合に上にHausdorff位相を入れた部分コンパクト化を構成した。なお以上は、重さW=2の場合にCattaniとKaplanの仕事の一般化になっている。
伊吹山は斎藤裕(京大)と共同して、有理数体上にn次対称行列全体のなす概均ベクトル空間に付隨したゼーター関数について研究した。
このゼーター関数をshiftedRiemannゼーター関数を使って表わし、非正整数における特殊値をBernoulli数で記述した。また次数n、レベルNの主合同群Γn(N)に属するSiegel尖点形式Sk(Γn(N))の次元に対する中心的巾単元の寄与を記述し、次元公式の予想を与えた。これまでn<3の場合にこの次元公式は知られていた。
平峰は新しい3p次の平面関数を発見した。宇野はA型か階数2のCoxeter系(W,S)の場合に、付隨する特殊Hecke環H_2の(W)の表現型が有限であるための条件を「αが(W,S)のPoincare多項式の単純根になっている」という形で与えた。

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

代数群及びその一般化としての量子群,KacーMoody群などに対し次の研究を行なった。1)ある種の無限次元リ-環に対応する群の位相ホップ代数による研究(阿部)。2)GL(n)の2変数量子化を構成し,従来あった2種類の量子化を統一的に説明した(竹内)。3)量子数qに依存する括抓積を用いて古典型量子包経代数のPBW型基底の存在を調べた(竹内)。4)量子代数群SU_q(2)の代数的座標環の代数的ドラム理論を巡回ホモロジ-を用いて具体的に計算した(増田)。5)Podles^^′の量子2次元球面について代数的ドラム理論が縮退していることを示した(増田)。6)KacーMoody群及びWitt環に付随するロ-ラン多項式の斜交K_2理論の研究(森田)。7)KacーMoody群の被覆,シュ-ア乗法因子群とK_2の研究(森田)。8)3次元ユ-クリッド空間内の定曲率ト-ラスの変形理論の研究(梅原)。9)ロ-レンツ3ー空間における定曲率完備曲面の研究(相山)。10)Baireのcategory定理の成立しないBanach空間が存在するような2F集合論の模型を構成した(塚田)。11)カントル集合からpseudoーarcへの写像を調べ,スパンゼロの連続体との関係を明らかにした(川村)。12)算術的発展に関連する概素数の研究(三河)。13)二重特性数をもつ作用素に対する超双曲性の研究(保城)。以上の分担者の研究を総合して,量子群及び代数群の,共形場理論,Virasoro代数との関連,微分幾何や偏微分方程式論への応用など多岐にわたり興味深くかつ重要な結果が得られた。

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

ChengーYangのMinkowski空間におけるBernstein問題に関する結果をLorentz空間形において考察し、第2基本形式のノルムの最良な評価を得た。複素空間形の調和Weylテンソルをもつ実超曲面は存在しないことを主張した。これは良く知られたEinstein実超曲面が存在しないという事実の一般化である。複素空間形のBー型実超曲面において第2基本テンソルのノルムは下に有界であることを示し、逆にそのような評価をされる実超曲面はBー型にに限ることを証明した。複素射影空間のC,D,E型実超曲面を特徴づける方程式を求めた。
両側不変なRiemann計算を持つコンパクト単純Lie群内のindexが1のコンパクト連結単純Lie部分群が体積の変分にに関して安定になることを証明した。次に両側不変なRiemann計算を持つコンパクト連結Lie群の極大ト-ラスが体積の変分に関して安定になるとき、階数が最大のコンパクト連結部分群も安定になることを示した。また極大ト-ラスが安定なコンパクト連結単純Lie完全に決定した。
体k上の量子代数群SLq(2)の代数的座標A=A(SLq(2))の代数的ドラ-ム理論を巡回ホモロジ-を用いて具体的に計算した。
3次元定曲率空間のHーdeformableな曲面は平均率が一定であることを証明した。全臍的でない平均曲率一定な曲面がHーdeformableであることは既に知られている。
3次元Lorentz空間の平均曲率一定なspaceーlikeな曲面は,Gauss曲率が非正であるか、全たは全臍的であることを示した。さらにそのような曲面の一つであるHyperbolic Cylinderを主曲率によって特徴付けた。

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Grant type：Competitive

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