配分額：12610000円 （ 直接経費：9700000円 、 間接経費：2910000円 ）

本研究課題はBernoulliの自由境界問題において重要な未解決問題であるFlucher-Rumpf予想の解決を目標に，当該分野の研究が盛んなイタリアでの長期滞在を通して集中的に研究計画を遂行する．また，欧州における研究グループと国際ネットワークを構築し，我が国の当該分野におけるプレゼンスを高め，人的交流を含めた国際研究交流の礎を造ることも目的である．
過剰決定問題を含む自由境界問題は，可解性を有する領域の分類，安定性，分岐現象において極小曲面論や非線型楕円型方程式の安定解理論と類似の構造をもち，近年研究の重要性が分野横断的に広く認識され，活発な研究活動が行われる一大分野を形成している．本研究では，従来の解析手法である優解劣解法，変分法，陰函数定理といった古典的な非線型解析の適用が困難である解の不安定性および正則性損失を構造的に内包するBernoulliの自由境界問題に対し，放物型方程式理論に基づく陰函数定理および力学系理論による革新的解析手法を確立し，Flucher-Rumpf予想とよばれるRobin函数の非退化極小点に集中する層状構造をなす自由境界の一径数族の存在を証明することである．
当該年度は，本国際共同研究遂行の準備のための情報収集を行い，次年度以降の共同研究遂行のためMagnanini氏とオンラインの打ち合わせを継続的に行なった．
一方，Bernoulliの問題と同様に正則性損失構造から従来解析が困難だった地球物理学における数理モデルであるBackus問題に対し，双極子解の摂動問題を考察し成果を得た．実際，ヘルダー空間では正則性損失が起こり得るが，非線型項の特別な形から，重み付きシャウダー評価によって不動点定理が適用できることを発見した．本研究成果については微分方程式の専門雑誌へ掲載された．

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配分額：18070000円 （ 直接経費：13900000円 、 間接経費：4170000円 ）

当該年度においては、幾つかの障害物問題に関する研究をドイツの研究グループと zoom などのツールを活用して実施し、幾つかの成果を得た。また、日本側の研究グループが主導的に関わる、調和解析的手法を用いた高階楕円型・放物型問題に関する研究については、日本側の研究グループ内で対面による研究討論と zoom による勉強会を定期的に開催することで、その基盤を構築することに時間を費やした。以下、それぞれの詳細について説明する。
障害物問題に関する共同研究については、まず、代表者とドイツグループの代表と言える H.-C. Grunau 氏との共同研究としてDirichlet境界条件下の弾性膜に関する障害物問題について結果を得て、論文として纏めて学術誌に投稿した。現在は掲載受理され、最終的な校正を待っている段階である。この研究においては最小解が存在するための必要十分条件を障害物の高さによって特徴づけることが未解決問題として残されており、現在、代表者、H.-C. Grunau氏にK. Deckelnick氏を加えた新たな共同研究を行うべく、議論を開始したところである。加えて、代表者と吉澤研介氏（研究協力者）にドイツ側から A. Dall'Acqua氏とM. Muller氏を加えた共同研究として、p-弾性エネルギーに関する障害物問題について考察した。その結果、最小解の正則性が失われる要因が p=2 を境に変化することを特定することに成功し、それを論文として取り纏めた。現在は学術誌に投稿し、査読中である。
高階楕円型・放物型問題に対する調和解析を用いた新しい解析ツールの構築については、日本側グループにおいて、zoomによる定期的な勉強会に加えて、対面による討論会を複数回実施した。その結果、複数の具体的な問題を設定することに成功し、現在はその解析に向けた討論を進めている段階である。

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配分額：4290000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：990000円 ）

Bernoulli の自由境界問題，Serrin の問題を含む一般の過剰決定問題に対し有効な函数解析的手法を確立し，解の葉層構造の存在や，境界条件の摂動に対する領域形状の定量的安定性を導出した．本研究内容は研究雑誌「Archive for Rational Mechanics and Analysis」に投稿，掲載された他，幾つかの研究集会において口頭発表を行った．
また，Serrin の対称性の結果が著名な Saint-Venent 問題の剛性の安定性について Alexandra Gilsbach 氏と共同研究をして得た成果である最適な定量的評価を論文にまとめ，研究雑誌「Calculus of Variations and Partial Differential Equations」に投稿・掲載されるとともに，それを幾つかの研究集会の場で発表した．特に，ここで得られた陰函数定理は幾分かの微分の損失を許すもので汎用性が高いものである．実際，非定数な境界条件下での過剰決定問題に対する安定性に対しても，この方法を応用し，今まで得られていなかった最良の定量的安定性評価を導出することにも成功した．
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一方，高階楕円型方程式の過剰決定問題に対する定量的安定性評価については，当時大学院生だった岡本氏と共著で論文を執筆し，研究雑誌「Journal of Differential Equations」に投稿・掲載された．
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さらに，正則性損失構造から従来解析が困難だった地球物理学における数理モデルであるBackus問題に関して，その双極子解の摂動問題を考察し，軸対称性の仮定下では正則性損失が起こらないことを発見し，詳細なスペクトル解析を行うことで，その摂動問題の可解性を初めて得ることに成功した．本結果は雑誌「Nonlinear Differential Equations and Applications」に投稿・掲載が確定している．

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配分額：42770000円 （ 直接経費：32900000円 、 間接経費：9870000円 ）

主な研究成果として以下の２つを挙げる．
（１）Salvatore Stuvard（ミラノ大学）と共同で前年度から引き続き研究を行っている余次元１の閉修正可能集合を初期値としたブラッケ流の存在定理について，特にブラッケ流の囲む領域の体積変化について，当初の我々の予想を凌ぐシャープな結果を得ることに成功した．論文はAdvances in Calculus of Variationsに出版受理済である．存在を示したブラッケ流は有界変動関数の枠組みにおける平均曲率流にもなっており，そのためブラッケ流特有の非一意性の問題を解決している．有界変動関数の枠組みの時間大域解の存在定理自体が知られていなかった中，この存在定理は一般化された平均曲率流に対して新しい概念を発見した，とも言える結果である．
（２）曲面のブラッケの意味での法線方向速度が，平均曲率と外力項の和で表せる問題を考える．葛西－利根川(2014)による正則性定理により，ほとんどの点において動く曲面はパラボリックの意味で局所的にC^1級グラフになることがわかっていたが，外力項がヘルダー連続ではない場合，界面運動を表す2階放物型方程式の強解になるかどうかは未解決だった．この問題に対し，森龍之介（東工大特別研究員）と富松瑛太（D２）と共同で，もしグラフの時間微分がラドン測度であれば，グラフは期待される２階偏微分方程式の強解になっていることが解明された．興味深いことに，Allen-Cahn方程式から得られる解はこの条件を満たしている．これはブラッケの意味での界面速度の繊細な性質を表すものであり，未知であった現象である．論文はIndiana University Math Journalに出版受理済みである．

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配分額：43810000円 （ 直接経費：33700000円 、 間接経費：10110000円 ）

研究計画第3年度の本年度は、11月に開催した国際研究集会"Geometric Analysis and General Ralativity"を中心として、アインシュタイン方程式を満たす時空の幾何学的構造に関する研究活動を進めた。
昨年度に引き続いて、研究連携者であるM.Khuri氏およびG.Weinstein氏とともに、５次元、真空、アインシュタイン方程式の定常解の構成を調和写像を用いて行った。このエルンスト形式とよばれる方法論で構成されるアインシュタイン時空には、幾何学的な特異点が内在しており、それら特異性の除去をする方法論について2018年度に引き続いて研究の進展を図った。これらの業績は論文として執筆中である。
東京大学駒場キャンパスにおいて行われた国際研究集会"Geometric Analysis and General Ralativity"においては、海外から7名の講演者に加え、国内から若手の研究者を募り、一般相対性理論と幾何解析に関する分野融合的な情報発信を行った。本研究課題の中心となるアインシュタイン方程式を介して、国外からの参加者からも、学際的な切り口は好評であり、国境および世代を超えた活発な議論の場を提供できたことは、本研究グループにとっても、大きな手応えとなった。
研究代表者は、本研究課題とは独立に距離空間の幾何学に関わってきた。時間的な距離空間というH. BusemannおよびA.D.Alexandrovによって半世紀前に提唱された分野においての研究代表者の近年の研究が、期せずして本研究課題と関連するに至り、本年度には、Timelike Funk and Hilbert Geometriesという論文を発表した。

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配分額：4030000円 （ 直接経費：3100000円 、 間接経費：930000円 ）

Bernoulli の自由境界問題，Serrin の問題を含む一般の過剰決定問題に対し有効な函数解析的手法を確立し，解の葉層構造の存在や，境界条件の摂動に対する領域形状の定量的安定性を導出した．本研究内容は研究雑誌「Archive for Rational Mechanics and Analysis」に投稿，掲載された他，幾つかの研究集会において口頭発表を行った．
また，Serrin の対称性の結果が著名な Saint-Venent 問題の剛性の安定性について Alexandra Gilsbach 氏と共同研究をして得た成果である最適な定量的評価を論文にまとめ，研究雑誌「Calculus of Variations and Partial Differential Equations」に投稿・掲載されるとともに，それを幾つかの研究集会の場で発表した．特に，ここで得られた陰函数定理は幾分かの微分の損失を許すもので汎用性が高いものである．実際，非定数な境界条件下での過剰決定問題に対する安定性に対しても，この方法を応用し，今まで得られていなかった最良の定量的安定性評価を導出することにも成功した．
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一方，高階楕円型方程式の過剰決定問題に対する定量的安定性評価については，当時大学院生だった岡本氏と共著で論文を執筆し，研究雑誌「Journal of Differential Equations」に投稿・掲載された．
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さらに，正則性損失構造から従来解析が困難だった地球物理学における数理モデルであるBackus問題に関して，その双極子解の摂動問題を考察し，軸対称性の仮定下では正則性損失が起こらないことを発見し，詳細なスペクトル解析を行うことで，その摂動問題の可解性を初めて得ることに成功した．本結果は雑誌「Nonlinear Differential Equations and Applications」に投稿・掲載が確定している．

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配分額：3640000円 （ 直接経費：2800000円 、 間接経費：840000円 ）

実軸上の反応拡散方程式を複素平面内の適当な領域に解析接続できることを示した．しかし，一般には，複素平面全体には拡張不可能であり，特異点が存在する．この特異点の運動を，熱方程式とアレン・カーン方程式を対象として調べた．まず，熱方程式の解を複素数の範囲で考え，その性質を調べた．アレン・カーン方程式を複素領域に拡張した場合，厳密解を用いて，複素特異点の移動を調べた．特異点が持つ性質について考察するために，一般化を試み，いくつかの結果を得た．
さらに，無限遠からの分岐に関する研究も行い，RabinowtizやStuartの結果を拡張して論文をまとめた．

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配分額：10790000円 （ 直接経費：8300000円 、 間接経費：2490000円 ）

石鹸膜，シャボン玉の表面の数学的抽象化と言える数学概念として，それぞれ，極小曲面，平均曲率一定曲面（以下ではCMC曲面と記す）がある．極小曲面は面積の平衡曲面，CMC曲面は囲む体積を変えない変分（許容変分と呼ぶ）に対する面積の平衡曲面である．これらの曲面は，対応する許容変分に対する面積の極小値をとる時，安定であると言われる．本研究では，極小曲面やCMC曲面について，固定境界，自由境界，周期境界条件のもとで，安定性の判定とモース指数(不安定度)の評価，安定解の存在と一意性，解空間の構造についての研究成果を得た．

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配分額：2860000円 （ 直接経費：2200000円 、 間接経費：660000円 ）

層ポテンシャルの再構成問題は変分構造を有し，与えられたポテンシャルを生成する層（閉曲面）の存在が知られている．一方，逆問題の基本的問いである一意性，すなわち，前述の性質をもつ層が一意に定まるかという問題に対しては，変分構造を定める汎函数が一般に凸であるとは限らず複雑であり非自明であった．
本研究では，仮想的にパラメーターをつけた問題の族の考察し，対応する層の族がなす曲面の動きを発展方程式として導き，その力学系的性質を明らかにすることで，元の問題に対しての層の一意性およびその形状の定量的評価を得ることに成功した．

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資金種別：競争的資金

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