2026/03/10 更新

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ナイトウ　サトシ
内藤　聡
NAITO SATOSHI
所属
理学院 教授
職名
教授
外部リンク

学位

  • 博士(理学) （ 京都大学 ）

研究キーワード

  • Path Models

  • Algebraic Groups

  • Quantum Groups

  • Crystal Bases

  • 表現論

  • 代数群

  • 量子群

  • 結晶基底

  • Kac-Moody リー環

  • Representation Theory

  • Kac-Moody Algebras

研究分野

  • 自然科学一般 / 代数学  / 表現論, 量子群

学歴

  • 京都大学   大学院理学研究科博士後期課程   数学科

    1990年4月 - 1992年9月

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経歴

  • 東京科学大学   理学院   教授

    2024年10月 - 現在

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  • 東京工業大学   理学院   教授

    2016年4月 - 2024年9月

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    国名：日本国

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  • 東京工業大学   大学院理工学研究科   教授

    2011年8月 - 2016年3月

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    国名：日本国

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  • 筑波大学   数理物質科学研究科 数学専攻   准教授

    2004年4月 - 2011年7月

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    国名：日本国

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  • 筑波大学   数学系   助教授

    1995年10月 - 2004年3月

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    国名：日本国

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  • 静岡大学   理学部   助手

    1992年10月 - 1995年9月

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    国名：日本国

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所属学協会

委員歴

  • 日本数学会   代数学分科会運営委員  

    2012年4月 - 現在   

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    団体区分：学協会

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論文

  • A presentation of the torus‐equivariant quantum K$K$‐theory ring of flag manifolds of type A$A$, Part I: The defining ideal 査読

    Toshiaki Maeno, Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of the London Mathematical Society   111 ( 3 )   2025年3月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Wiley  

    Abstract

    We give a presentation of the torus‐equivariant (small) quantum ‐theory ring of flag manifolds of type , as the quotient of a polynomial ring by an explicit ideal. This result is the torus‐equivariant version of our previous one, which gives a presentation of the nonequivariant quantum ‐theory ring of flag manifolds of type . However, the method of proof for the torus‐equivariant one is entirely different from that for the nonequivariant one; our proof is based on the result in the limit, and uses Nakayama‐type arguments to upgrade it to the quantum situation. Also, in contrast to the nonequivariant case in which we used the Chevalley formula, we make use of the inverse Chevalley formula for the torus‐equivariant ‐group of semi‐infinite flag manifolds to obtain relations that yield our presentation.

    DOI： 10.1112/jlms.70095

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  • A presentation of the torus-equivariant quantum $K$-theory ring of flag manifolds of type $A$, Part II: quantum double Grothendieck polynomials 査読

    Toshiaki Maeno, Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Forum of Mathematics, Sigma   13   2025年1月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Cambridge University Press (CUP)  

    Abstract

    In our previous paper, we gave a presentation of the torus-equivariant quantum K-theory ring $QK_{H}(Fl_{n+1})$ of the (full) flag manifold $Fl_{n+1}$ of type $A_{n}$ as a quotient of a polynomial ring by an explicit ideal. In this paper, we prove that quantum double Grothendieck polynomials, introduced by Lenart-Maeno, represent the corresponding (opposite) Schubert classes in the quantum K-theory ring $QK_{H}(Fl_{n+1})$ under this presentation. The main ingredient in our proof is an explicit formula expressing the semi-infinite Schubert class associated to the longest element of the finite Weyl group, which is proved by making use of the general Chevalley formula for the torus-equivariant K-group of the semi-infinite flag manifold associated to $SL_{n+1}(\mathbb {C})$.

    DOI： 10.1017/fms.2024.147

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  • Pieri-type multiplication formula for quantum Grothendieck polynomials 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Advances in Mathematics   460   110051 - 110051   2025年1月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.aim.2024.110051

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  • A general Chevalley formula for semi-infinite flag manifolds and quantum K-theory 査読

    Cristian Lenart, Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Selecta Mathematica   30 ( 3 )   2024年3月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    DOI： 10.1007/s00029-024-00924-8

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    その他リンク： https://link.springer.com/article/10.1007/s00029-024-00924-8/fulltext.html

  • Closed 𝑘-Schur Katalan functions as 𝐾-homology Schubert representatives of the affine Grassmannian 査読

    Takeshi Ikeda, Shinsuke Iwao, Satoshi Naito

    Transactions of the American Mathematical Society, Series B   11 ( 20 )   667 - 702   2024年3月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：American Mathematical Society (AMS)  

    <p>Recently, Blasiak–Morse–Seelinger introduced symmetric func- tions called Katalan functions, and proved that the -theoretic -Schur functions due to Lam–Schilling–Shimozono form a subfamily of the Katalan functions. They conjectured that another subfamily of Katalan functions called closed -Schur Katalan functions is identified with the Schubert structure sheaves in the -homology of the affine Grassmannian. Our main result is a proof of this conjecture.</p><p>We also study a -theoretic Peterson isomorphism that Ikeda, Iwao, and Maeno constructed, in a nongeometric manner, based on the unipotent solution of the relativistic Toda lattice of Ruijsenaars. We prove that the map sends a Schubert class of the quantum -theory ring of the flag variety to a closed --Schur Katalan function up to an explicit factor related to a translation element with respect to an antidominant coroot. In fact, we prove this map coincides with a map whose existence was conjectured by Lam, Li, Mihalcea, Shimozono, and proved by Kato, and more recently by Chow and Leung.</p>

    DOI： 10.1090/btran/184

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  • Identities of Inverse Chevalley Type for the Graded Characters of Level-Zero Demazure Submodules over Quantum Affine Algebras of Type C 査読

    Takafumi Kouno, Satoshi Naito, Daniel Orr

    Algebras and Representation Theory   27 ( 1 )   429 - 460   2023年8月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    Abstract

    We provide identities of inverse Chevalley type for the graded characters of level-zero Demazure submodules of extremal weight modules over a quantum affine algebra of type C. These identities express the product $$e^{\mu } \text {gch} ~V_{x}^{-}(\lambda )$$ of the (one-dimensional) character $$e^{\mu }$$, where $$\mu $$ is a (not necessarily dominant) minuscule weight, with the graded character gch$$V_{x}^{-}(\lambda )$$ of the level-zero Demazure submodule $$V_{x}^{-}(\lambda )$$ over the quantum affine algebra $$U_{\textsf{q } }(\mathfrak {g}_{\textrm{af } })$$ as an explicit finite linear combination of the graded characters of level-zero Demazure submodules. These identities immediately imply the corresponding inverse Chevalley formulas for the torus-equivariant K-group of the semi-infinite flag manifold $$\textbf{Q}_{G}$$ associated to a connected, simply-connected and simple algebraic group G of type C. Also, we derive cancellation-free identities from the identities above of inverse Chevalley type in the case that $$\mu $$ is a standard basis element $${\varepsilon }_{k}$$ in the weight lattice P of G.

    DOI： 10.1007/s10468-023-10221-1

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    その他リンク： https://link.springer.com/article/10.1007/s10468-023-10221-1/fulltext.html

  • Inverse K-Chevalley formulas for semi-infinite flag manifolds, II: Arbitrary weights in ADE type 査読

    Cristian Lenart, Satoshi Naito, Daniel Orr, Daisuke Sagaki

    Advances in Mathematics   423   109037 - 109037   2023年6月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.aim.2023.109037

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  • Chevalley formula for anti-dominant weights in the equivariant K-theory of semi-infinite flag manifolds 査読

    Satoshi Naito, Daniel Orr, Daisuke Sagaki

    Advances in Mathematics   387   2021年8月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Academic Press Inc.  

    DOI： 10.1016/j.aim.2021.107828

    Scopus

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  • InverseK-Chevalley formulas for semi-infinite flag manifolds, I: minuscule weights in ADE type 査読

    Takafumi Kouno, Satoshi Naito, Daniel Orr, Daisuke Sagaki

    Forum of Mathematics, Sigma   9   2021年7月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Cambridge University Press (CUP)  

    Abstract

    We prove an explicit inverse Chevalley formula in the equivariantK-theory of semi-infinite flag manifolds of simply laced type. By an ‘inverse Chevalley formula’ we mean a formula for the product of an equivariant scalar with a Schubert class, expressed as a$\mathbb {Z}\left [q^{\pm 1}\right ]$-linear combination of Schubert classes twisted by equivariant line bundles. Our formula applies to arbitrary Schubert classes in semi-infinite flag manifolds of simply laced type and equivariant scalars$e^{\lambda }$, where$\lambda $is an arbitrary minuscule weight. By a result of Stembridge, our formula completely determines the inverse Chevalley formula for arbitrary weights in simply laced type except for type$E_8$. The combinatorics of our formula is governed by the quantum Bruhat graph, and the proof is based on a limit from the double affine Hecke algebra. Thus our formula also provides an explicit determination of all nonsymmetricq-Toda operators for minuscule weights in ADE type.

    DOI： 10.1017/fms.2021.45

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  • Level-zero van der Kallen modules and specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at t = infinity 査読

    S. Naito, D. Sagaki

    Transform. Groups   2020年12月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Equivariant K-theory of semi-infinite flag manifolds and the Pieri-Chevalley formula 査読

    S. Kato, S. Naito, D. Sagaki

    Duke Math. J.   169 ( 13 )   2421 - 2500   2020年9月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Duke University Press  

    DOI： 10.1215/00127094-2020-0015

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  • Specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at $t=\infty$ and Demazure submodules of level-zero extremal weight modules 査読

    Satoshi Naito, Fumihiko Nomoto, Daisuke Sagaki

    Transactions of the American Mathematical Society   370 ( 4 )   2739 - 2783   2018年4月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：American Mathematical Society (AMS)  

    DOI： 10.1090/tran/7114

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  • A uniform model for Kirillov-Reshetikhin crystals III: nonsymmetric Macdonald polynomials at t = 0 and Demazure characters 査読

    C. Lenart, S. Naito, D. Sagaki, A. Schilling, M. Shimozono

    Transform. Groups   22 ( 4 )   1041 - 1079   2017年12月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • A uniform model for Kirillov-Reshetikhin crystals II: Alcove model. path model, and P = X 査読

    C. Lenart, S. Naito, D. Sagaki, A. Schilling, M. Shimozono

    Int. Math. Res. Not.   IMRN 2017 ( 14 )   4259 - 4319   2017年10月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Newton-Okounkov convex bodies of Schubert varieties and polyhedral realizations of crystal bases 査読

    Naoki Fujita, Satoshi Naito

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT   285 ( 1-2 )   325 - 352   2017年2月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

    DOI： 10.1007/s00209-016-1709-7

    Web of Science

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  • Demazure submodules of level-zero extremal weight modules and specializations of Macdonald polynomials 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Mathematische Zeitschrift   283 ( 3-4 )   937 - 978   2016年2月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    DOI： 10.1007/s00209-016-1628-7

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    その他リンク： http://link.springer.com/article/10.1007/s00209-016-1628-7/fulltext.html

  • Semi-infinite Lakshmibai–Seshadri path model for level-zero extremal weight modules over quantum affine algebras 査読

    Motohiro Ishii, Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Advances in Mathematics   290   967 - 1009   2016年2月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.aim.2015.11.037

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  • A Uniform Model for Kirillov-Reshetikhin Crystals I: Lifting the Parabolic Quantum Bruhat Graph 査読

    C. Lenart, S. Naito, D. Sagaki, A. Schilling, M. Shimozono

    International Mathematics Research Notices   2014年1月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Oxford University Press (OUP)  

    DOI： 10.1093/imrn/rnt263

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  • Tensor product multiplicities for crystal bases of extremal weight modules over quantum infinite rank affine algebras of types B, C, and D 査読

    S. Naito, D. Sagaki

    Trans. Amer. Math. Soc.   364 ( 12 )   6531 - 6564   2012年12月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Polytopal estimate of Mirkovic-Vilonen polytopes lying in a Demazure crystal 査読

    S. Kato, S. Naito, D. sagaki

    Adv. Math.   226 ( 3 )   2587 - 2617   2011年2月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Mirković–Vilonen polytopes lying in a Demazure crystal and an opposite Demazure crystal 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Advances in Mathematics   221 ( 6 )   1804 - 1842   2009年8月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.aim.2009.03.008

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  • Lakshmibai–Seshadri paths of level-zero shape and one-dimensional sums associated to level-zero fundamental representations 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Compositio Mathematica   144 ( 6 )   1525 - 1556   2008年11月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Wiley  

    <title>Abstract</title>We give an interpretation of the energy function and classically restricted one-dimensional sums associated to tensor products of level-zero fundamental representations of quantum affine algebras in terms of Lakshmibai–Seshadri paths of level-zero shape.

    DOI： 10.1112/s0010437x08003606

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  • Crystal structure on the set of Lakshmibai-Seshadri paths of an arbitrary level-zero shape 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Proceedings of the London Mathematical Society   96 ( 3 )   582 - 622   2008年5月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Wiley  

    DOI： 10.1112/plms/pdm034

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  • Path model for a level-zero extremal weight module over a quantum affine algebra II 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Advances in Mathematics   200 ( 1 )   102 - 124   2006年2月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.aim.2004.08.016

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  • Crystal of Lakshmibai-Seshadri associated to an integral weight of level zero for an affine Lie algebra 査読

    S. Naito, D. Sagaki

    Int. Math. Res. Not.   IMRN 2005 ( 14 )   815 - 840   2005年1月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Path model for a level-zero extremal weight module over a quantum affine algebra 査読

    S. Naito, D. Sagaki

    Int. Math. Res. Not.   IMRN 2003 ( 32 )   1731 - 1754   2003年1月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Lakshmibai–Seshadri Paths Fixed by a Diagram Automorphism 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of Algebra   245 ( 1 )   395 - 412   2001年11月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1006/jabr.2001.8904

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  • Kazhdan-Lusztig conjecture for generalized Kac-Moody algebras. II. Proof of the conjecture 査読

    Satoshi Naito

    Transactions of the American Mathematical Society   347 ( 10 )   3891 - 3919   1995年10月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：American Mathematical Society (AMS)  

    DOI： 10.1090/s0002-9947-1995-1316859-2

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  • The strong Bernstein-Gelfand-Gelfand resolution for generalized Kac-Moody algebras. II. An explicit construction of the resolution 査読

    S. Naito

    J. Algebra   167 ( 3 )   778 - 802   1994年8月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Borel-type presentation of the torus-equivariant quantum K -ring of flag manifolds of type C

    Takafumi Kouno, Satoshi Naito

    Forum of Mathematics, Sigma   13   2025年12月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Cambridge University Press (CUP)  

    Abstract

    We give a presentation of the torus-equivariant (small) quantum K -ring of flag manifolds of type C as an explicit quotient of a Laurent polynomial ring; our presentation can be thought of as a quantization of the classical Borel presentation of the ordinary K -ring of flag manifolds. Also, we give an explicit Laurent polynomial representative for each special Schubert class in our Borel-type presentation of the quantum K -ring.

    DOI： 10.1017/fms.2025.10145

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  • Symmetric and nonsymmetric Macdonald polynomials via a path model with a pseudo-crystal structure 査読

    Cristian Lenart, Satoshi Naito, Fumihiko Nomoto, Daisuke Sagaki

    Contemporary Mathematics   25 - 57   2025年3月

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    記述言語：英語   出版者・発行元：American Mathematical Society  

    <p>In this paper we derive a counterpart of the well-known Ram-Yip formula for symmetric and nonsymmetric Macdonald polynomials of arbitrary type. Our new formula is in terms of a generalization of Lakshmibai-Seshadri paths (originating in standard monomial theory), which we call pseudo-quantum Lakshmibai-Seshadri (LS) paths. This model carries less information than the alcove walks in the Ram-Yip formula, and it is therefore more efficient. Furthermore, we construct a connected pseudo-crystal structure on the pseudo-quantum LS paths, which is expected to lead to a simple Littlewood-Richardson rule for multiplying Macdonald polynomials. By contrast with the Kashiwara crystals, our pseudo-crystals have edges labeled by arbitrary roots.</p>

    DOI： 10.1090/conm/815/16315

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  • A Generalization of Quantum Lakshmibai-Seshadri Paths for an Arbitrary Weight 招待 査読

    Takafumi Kouno, Satoshi Naito

    Algebras and Representation Theory   27 ( 6 )   2321 - 2353   2024年12月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    Abstract

    We construct an injective weight-preserving map (called the forgetful map) from the set of all admissible subsets in the quantum alcove model associated to an arbitrary weight. The image of this forgetful map can be explicitly described by introducing the notion of “interpolated quantum Lakshmibai-Seshadri (QLS for short) paths”, which can be thought of as a generalization of quantum Lakshmibai-Seshadri paths. As an application, we reformulate, in terms of interpolated QLS paths, an identity of Chevalley type for the graded characters of Demazure submodules of a level-zero extremal weight module over a quantum affine algebra, which is a representation-theoretic analog of the Chevalley formula for the torus-equivariant K-group of a semi-infinite flag manifold.

    DOI： 10.1007/s10468-024-10298-2

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    その他リンク： https://link.springer.com/article/10.1007/s10468-024-10298-2/fulltext.html

  • Quantum K-theory Chevalley formulas in the parabolic case 査読

    Takafumi Kouno, Cristian Lenart, Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of Algebra   645   1 - 53   2024年5月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.jalgebra.2024.01.026

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  • New structure on the quantum alcove model with applications to representation theory and Schubert calculus 査読

    Takafumi Kouno, Cristian Lenart, Satoshi Naito

    Journal of Combinatorial Algebra   7 ( 3 )   347 - 400   2023年10月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：European Mathematical Society - EMS - Publishing House GmbH  

    The quantum alcove model associated to a dominant weight plays an important role in many branches of mathematics, such as combinatorial representation theory, the theory of Macdonald polynomials, and Schubert calculus. For a dominant weight, it is proved by Lenart–Lubovsky that the quantum alcove model does not depend on the choice of a reduced alcove path, which is a shortest path of alcoves from the fundamental one to its translation by the given dominant weight. This is established through quantum Yang–Baxter moves, which biject the objects of the models associated to two such alcove paths, and can be viewed as a generalization of jeu de taquin slides to arbitrary root systems. The purpose of this paper is to give a generalization of quantum Yang–Baxter moves to the quantum alcove model corresponding to an arbitrary weight, which was used to express a general Chevalley formula for the equivariant K -group of semi-infinite flag manifolds. The generalized quantum Yang–Baxter moves give rise to a “sijection” (bijection between signed sets), and are shown to preserve certain important statistics, including weights and heights. As an application, we prove that the generating function of these statistics does not depend on the choice of a reduced alcove path. Also, we obtain an identity for the graded characters of Demazure submodules of level-zero extremal weight modules over a quantum affine algebra, which can be thought of as a representation-theoretic analogue of the mentioned Chevalley formula.

    DOI： 10.4171/jca/77

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  • Chevalley formula for anti-dominant minuscule fundamental weights in the equivariant quantum K-group of partial flag manifolds 査読

    Takafumi Kouno, Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of Combinatorial Theory, Series A   192   105670 - 105670   2022年11月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.jcta.2022.105670

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  • Tensor product decomposition theorem for quantum Lakshmibai-Seshadri paths and standard monomial theory for semi-infinite Lakshmibai-Seshadri paths 査読

    S. Naito, F. Nomoto, D. Sagaki

    J. Combin. Theory Ser. A   169   2020年7月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Representation-theoretic interpretation of Cherednik-Orr’s recursion formula for the specialization of nonsymmetric Macdonald Polynomials at $t=\infty$ 査読

    Satoshi Naito, Fumihiko Nomoto, Daisuke Sagaki

    Transformation Groups   24 ( 1 )   155 - 191   2019年3月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    DOI： 10.1007/s00031-017-9467-0

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    その他リンク： http://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00031-017-9467-0.pdf

  • A combinatorial formula expressing periodic R-polynomials 査読

    S. Naito, H. Watanabe

    J. Combin. Theory Ser. A   148   197 - 243   2017年5月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Quantum Lakshmibai-Seshadri paths and root operators 査読

    C. Lenart, S. Naito, D. Sagaki, A. Schilling, M. Shimozono

    Adv. Stud. Pure Math.   71   267 - 294   2016年12月

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Explicit description of the degree function in terms of quantum Lakshmibai-Seshadri paths 査読

    LENART Cristian, NAITO Satoshi, SAGAKI Daisuke, SCHILLING Anne, SHIMOZONO Mark

    Toyama mathematical journal   37   107 - 130   2015年

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    記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Dept. of Mathematics, Faculty of Science, University of Toyama  

    We give an explicit and computable description, in terms of the parabolic quantum Bruhat graph, of the degree function defined for quantum Lakshmibai-Seshadri paths, or equivalently, for "projected" (affine) level-zero Lakshmibai-Seshadri paths. This, in turn, gives an explicit and computable description of the global energy function on tensor products of Kirillov-Reshetikhin crystals of one-column type, and also of (classically restricted) one-dimensional sums.

    DOI： 10.15099/00015103

    CiNii Books

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  • Toward Berenstein-Zelevinsky data in affine type A, Part III: Proof of the connectedness 査読

    S. Naito, D. Sagaki, Y. Saito

    Springer Proc. Math. Stat.   40   361 - 402   2013年

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Tensor products and Minkowski sums of Mirković–Vilonen polytopes 査読

    Syu Kato, Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Transformation Groups   17 ( 1 )   195 - 207   2012年3月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    DOI： 10.1007/s00031-011-9159-0

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    その他リンク： http://link.springer.com/article/10.1007/s00031-011-9159-0/fulltext.html

  • Toward Berenstein-Zelevinsky data in affine type A, Part I: Construction of the affine analogs 査読

    S. Naito, D. Sagaki, Y. Saito

    Contemp. Math.   565   143 - 184   2012年

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Toward Berenstein-Zelevinsky data in affine type A, Part II: Explicit description 査読

    S. Naito, D. Sagaki, Y. Saito

    Contemp. Math.   565   185 - 216   2012年

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Crystal base elements of an extremal weight module fixed by a diagram automorphism II: case of affine Lie algebras 査読

    S. Naito, D. Sagaki

    Progr. Math.   284   225 - 255   2010年

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • A modification of the Anderson–Mirković conjecture for Mirković–Vilonen polytopes in types B and C 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of Algebra   320 ( 1 )   387 - 416   2008年7月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.jalgebra.2008.02.009

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  • Construction of Perfect Crystals Conjecturally Corresponding to Kirillov-Reshetikhin Modules over Twisted Quantum Affine Algebras 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Communications in Mathematical Physics   263 ( 3 )   749 - 787   2006年5月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    DOI： 10.1007/s00220-005-1515-2

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    その他リンク： http://link.springer.com/article/10.1007/s00220-005-1515-2/fulltext.html

  • Crystal Base Elements of an Extremal Weight Module Fixed by a Diagram Automorphism 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Algebras and Representation Theory   8 ( 5 )   689 - 707   2005年12月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    DOI： 10.1007/s10468-005-0234-x

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    その他リンク： http://link.springer.com/article/10.1007/s10468-005-0234-x/fulltext.html

  • An approach to the branching rule from sl_{2n}(C) to sp_{2n}(C) via Littelmann's path model 査読

    S. Naito, D. Sagaki

    J. Algebra   286 ( 1 )   187 - 212   2005年4月

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • A rationalization of the crystal Z∞ and a diagram automorphism 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of Pure and Applied Algebra   189 ( 1-3 )   279 - 295   2004年5月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/j.jpaa.2003.11.001

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  • Crystal bases and diagram automorphisms 査読

    S. Naito, D. Sagaki

    Adv. Stud. Pure Math.   40   321 - 341   2004年

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    担当区分：筆頭著者   記述言語：英語   掲載種別：研究論文（学術雑誌）  

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  • Three kinds of extremal weight vectors fixed by a diagram automorphism 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of Algebra   268 ( 1 )   343 - 365   2003年10月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/s0021-8693(03)00347-8

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  • A Twining Character Formula For Demazure Modules 査読

    Masaharu Kaneda, Satoshi Naito

    Transformation Groups   7 ( 4 )   321 - 342   2002年12月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Springer Science and Business Media LLC  

    DOI： 10.1007/s00031-002-0016-z

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    その他リンク： http://link.springer.com/article/10.1007/s00031-002-0016-z/fulltext.html

  • Twining Character Formula of Kac-Wakimoto Type for Affine Lie Algebras 査読

    Satoshi Naito

    Representation Theory of the American Mathematical Society   6 ( 3 )   70 - 100   2002年7月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：American Mathematical Society (AMS)  

    DOI： 10.1090/s1088-4165-02-00120-6

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  • Standard Paths and Standard Monomials Fixed by a Diagram Automorphism 査読

    Satoshi Naito, Daisuke Sagaki

    Journal of Algebra   251 ( 1 )   461 - 474   2002年5月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1006/jabr.2001.9135

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  • Character formula of Kac–Wakimoto type for generalized Kac–Moody algebras 査読

    Satoshi Naito

    Journal of Pure and Applied Algebra   166 ( 1-2 )   105 - 123   2002年1月

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    掲載種別：研究論文（学術雑誌）   出版者・発行元：Elsevier BV  

    DOI： 10.1016/s0022-4049(01)00138-4

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MISC

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講演・口頭発表等

  • Factorization formula for the Schubert class associated to the longest element in $QK_{H}(Sp_{2n}(\mathbb{C})/B)$ 招待

    Satoshi Naito

    International Workshop on Representation Theory, Schubert Calculus and Spectral Theory  2025年5月 

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    開催年月日： 2025年5月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Chevalley formula and Pieri formula for $QK(Fl_{n+1})$ 招待

    Satoshi Naito

    International Workshop "Crystal Bases and Then ..." --Conference in honor of Toshiki Nakashima's 60th birthday --  2024年7月 

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    開催年月日： 2024年7月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Quantum Demazure operators in the Borel-type presentation of the equivariant quantum $K$-theory ring of flag manifolds of type $A$ 招待

    内藤 聡

    2024年6月 

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    開催年月日： 2024年6月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • A presentation of the torus-equivariant $K$-theory ring of flag manifolds of type $A$ 招待

    内藤 聡

    第 19 回代数・解析・幾何学セミナー  2024年2月 

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    開催年月日： 2024年2月

    記述言語：日本語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Description of the Chevalley formula for the torus-equivariant quantum $K$-group of partial flag manifolds of (co-)minuscule type in terms of the parabolic quantum Bruhat graph 招待

    Satoshi Naito

    RIMS Workshop "Representation Theory of Algebraic Groups and Quantum Groups"  2019年10月 

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    開催年月日： 2019年10月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • A description of the $\mathbb{Z}[P]$-module structure of the $K$-theory of the finite-dimensional flag manifold in terms of a generalization of LS paths 招待

    Satoshi Naito

    OCAMI Workshop "Crystals and Their Generalizations"  2019年3月 

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    開催年月日： 2019年3月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Chevalley formula in the equivariant $K$-theory of semi-infinite flag manifolds 招待

    Satoshi Naito

    KIAS Workshop "Quantum $K$-theory and Related Topics"  2018年11月 

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    開催年月日： 2018年11月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Pieri-Chevalley formula in the equivariant $K$-theory of semi-infinite flag manifolds 招待

    内藤 聡

    RIMS 研究集会「組合せ論的表現論の諸相」  2018年10月 

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    開催年月日： 2018年10月

    記述言語：日本語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Pieri-Chevalley formula in the equivariant $K$-theory of semi-infinite flag manifolds 招待

    Satoshi Naito

    Workshop "Geometry and Representation Theory at the Interface of Lie Algebras and Quivers"  2018年9月 

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    開催年月日： 2018年9月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • 量子アフィン代数の表現論 招待

    内藤 聡

    2018 年度 (第 21 回) 日本数学会代数学賞受賞特別講演  2018年3月 

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    開催年月日： 2018年3月

    記述言語：日本語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Level-zero van der Kallen modules and specialization of nonsymmetric Macdonald polynomials at t = infinity 招待

    Satoshi Naito

    Workshop "Finite Groups, VOAS, and Related Topics 2018  2018年3月 

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    開催年月日： 2018年3月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Standard monomial theory for semi-infinite LS paths and semi-infinite flag manifolds 招待

    Satoshi Naito

    Taipei Workshop "Representation Theory of Lie Superalgebras and Related Topics"  2017年7月 

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    開催年月日： 2017年7月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Pieri-Chevalley type formula for equivariant K-theory of semi-infinite flag manifolds 招待

    Satoshi Naito

    Conference on Algebraic Representation Theory 2016  2016年12月 

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    開催年月日： 2016年12月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Standard monomial theory for semi-infinite LS paths with geometric application 招待

    Satoshi Naito

    Geometric Representation Theory 2016  2016年10月 

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    開催年月日： 2016年10月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Symmetric Macdonald polynomials and pseudo-quantum Lakshmibai-Seshadri paths 招待

    Satoshi Naito

    Infinite Analysis 2016  2016年3月 

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    開催年月日： 2016年3月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • 対称 Macdonald 多項式の t = 0 における特殊化と、アフィン量子群の有限次元表現 招待

    内藤 聡

    第 60 回代数学シンポジウム  2015年9月 

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    開催年月日： 2015年8月 - 2015年9月

    記述言語：日本語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Specializations of symmetric Macdonald polynomials and pseudoQLS paths 招待

    S. Naito

    Workshop on "Lie Theory and Representation Theory"  2015年7月 

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    開催年月日： 2015年7月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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  • Comparison of the two specializations of nonsymmetric Macdonald polynomials: at zero and at infinity 招待

    S. Naito

    Winter School on Representation Theory 2015  2015年1月 

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    開催年月日： 2015年1月

    記述言語：英語   会議種別：口頭発表（招待・特別）  

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受賞

  • 2018 年度日本数学会代数学賞

    2018年3月   日本数学会   量子アフィン代数の表現論

    内藤 聡

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共同研究・競争的資金等の研究課題

  • 半無限旗多様体の同変 K-群とアフィン量子群のレベル・ゼロ表現の研究

    研究課題/領域番号：21K03198  2021年4月 - 2026年3月

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    内藤 聡

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    配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）

    複素単純代数群に付随する無限次元代数多様体である半無限旗多様体の(極大)トーラス同変 K-群は、有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群と同型である事が知られている。これらの K-群における積 (テンソル積及び量子積) 構造は、トーラスの表現環上のこれらの K-群の加群構造と、反優整基本ウエイトに付随する直線束とのテンソル積及び量子積によって一意的に決定される。反優整基本ウエイトに付随する直線束とのテンソル積及び量子積を記述する Chevalley 公式は、D. Orr 教授 (Virginia 工科大学)、佐垣大輔教授 (筑波大学) とのこれまでの共同研究によって既に証明されていて、それは量子 Lakshmibai-Seshadri パスによって記述される。
    一方で、トーラスの表現環上のこれらの K-群の加群構造は、整ウエイトに対する Chevalley 公式を逆に解く事で得られる逆 Chevalley 公式により記述されるのであるが、それについてはこれまでは特殊なウエイトである minuscule ウエイトの場合にのみ、D. Orr 教授、佐垣大輔教授との共同研究によって結果が得られているに過ぎなかった。その主要な原因は、逆 Chevalley 公式を記述するための適切な言葉が見いだせていなかった事にある。
    本年度の研究成果として、C. Lenart 教授 (New York 州立大学 Albany 校)、D. Orr 教授、佐垣大輔教授との共同研究により、新しい組合せ論的対象物である "decorated 量子 walks" を導入し、それによって A, D, E 型の複素単純代数群に付随する半無限旗多様体のトーラス同変 K-群における任意の整ウエイトに対する逆 Chevalley 公式を記述し、そしてこの公式を証明する事が出来た。

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  • アフィン・リー環における臨界レベル・ゼロレベル対応と半無限旗多様体

    研究課題/領域番号：16H03920  2016年4月 - 2021年3月

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(B)  基盤研究(B)

    内藤 聡, 池田 岳, 荒川 知幸

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    配分額：13650000円 （ 直接経費：10500000円 、 間接経費：3150000円 ）

    本年度の研究成果としては、半無限旗多様体の (岩堀部分群に関する) 同変 K-群において、anti-dominant ウエイトに付随する (半無限多様体上の) 直線束と半無限 Schubert 部分多様体の構造層のテンソル積を半無限 Schubert 部分多様体の構造層で展開した時の係数 (つまり、積構造に関する構造定数) を semi-infinite Lakshmibai-Seshadri パスの言葉で明示的に記述する公式 (Chevalley 公式) を証明した事が挙げられる。特に、半無限旗多様体の岩堀部分群に関する Chevalley 公式において q = 1 と特殊化する事により、半無限旗多様体の極大トーラスに関する同変 K-群における Chevalley 公式を得る事が出来る。
    半無限旗多様体のトーラス同変 K-群と (通常の) 有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群の間には、通常の Schubert 部分多様体の構造層を半無限 Schubert 部分多様体の構造層に移す標準的な同型写像が存在する事が知られているので、上で述べた anti-dominant ウエイトに関する Chevalley 公式は、有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群における積構造の記述を与える事が分かる (このトーラス同変量子 K-群の積構造は、原理的にはこの anti-dominant ウエイトに関する Chevalley 公式により決定される)。特に、この結果から、余次元 1 の半無限 Schubert 部分多様体の構造層と一般の半無限 Schubert 部分多様体の構造層の積の明示的な記述に関する Lenart-Postnikov 予想の証明が得られる。

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  • 量子群および多元環の表現論の幾何学的研究

    研究課題/領域番号：24540008  2012年4月 - 2016年3月

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    斉藤 義久, 内藤 聡, 伊山 修, 谷崎 俊之

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    配分額：5200000円 （ 直接経費：4000000円 、 間接経費：1200000円 ）

    本研究課題における主な成果は次の２つである．
    (1) 近年，アフィン・グラスマン多様体の幾何学に起源を持つMirkovic-Vilonen凸多面体によって有限型量子包絡環の結晶基底を実現する方法がKamnitzerにより開発され，多くの成果が得られている．本研究では，上記理論のアフィン量子包絡環への拡張を行った．
    (2) A型Schubert多様体上の交叉コホモロジー複体の特性多様体の既約性について調べ，結晶基底の幾何学的実現を用いる方法により，低ランクの場合に具体形を完全に決定した．

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  • アフィン量子群の標準加群の結晶基底の幾何学的実現

    研究課題/領域番号：24540010  2012年4月 - 2016年3月

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)  基盤研究(C)

    内藤 聡, 斉藤 義久, 加藤 周, 佐垣 大輔

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    配分額：4940000円 （ 直接経費：3800000円 、 間接経費：1140000円 ）

    アフィン量子群上のレベル・ゼロ extremal ウエイト加群の Demazure 部分加群の次数付き指標を、量子 Bruhat グラフの言葉で明示的に書き表した。また、非対称マクドナルド多項式の t = 0 と t = ∞ での特殊化を、やはり量子 Bruhat グラフの言葉で明示的に書き表した。
    そしてこれらの結果を用いて、有限ワイル群の単位元及び最長元に付随する Demazure 部分加群の次数付き指標が、対称マクドナルド多項式の t = 0 での特殊化及び (最長元に付随する) 非対称マクドナルド多項式の t = ∞ での特殊化のそれぞれと、本質的に同じものである事を証明した。

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  • アフィン量子群のレベル・ゼロ表現の結晶基底の代数的サイクルとしての実現

    研究課題/領域番号：20540006  2008年4月 - 2012年3月

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)  基盤研究(C)

    内藤 聡, 竹山 美宏, 佐垣 大輔

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    配分額：3770000円 （ 直接経費：2900000円 、 間接経費：870000円 ）

    素粒子物理学、弦理論、統計力学等の(数理)物理学の多くの分野において現れる重要な対称性の一つであるアフィン・リー環(の普遍展開環)のq-変形(量子変形)としてアフィン量子群は導入された。このアフィン量子群の線形な作用(表現)についての研究は、素粒子や弦の状態を調べる際に非常に有用である。そこで、我々は、最も基本的なA型アフィン量子群の表現の中で最も普遍的なもの(Verma加群)の基底のq=0での様子(結晶基底)について、凸多面体の言葉で組合せ論的に明示的な記述を与えた。

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  • 量子群の幾何学的研究およびその多元環の表現論への応用

    研究課題/領域番号：20540009  2008年 - 2011年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    斉藤 義久, 伊山 修, 齋藤 恭司, 谷崎 俊之, 内藤 聡

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    配分額：4550000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：1050000円 ）

    2000年ごろ, MirkovicとVilonenはアフィングラスマン多様体の中にMirkovic-Vilonen(以下MVと略記) cycleと呼ばれる代数的サイクルを定義した.定義からMV cycleは実極大トーラスの作用を持つが,そのモーメント写像による像は,実Cartan部分代数の中の凸多面体を定める.これをMV凸多面体と呼ぶ.その後, KamnitzerはMV凸多面体全体のなす集合上に結晶構造を定義し,それが有限型量子包絡環のベキ零部分の結晶基底と結晶として同型であることを証明した.さらにMV多面体は, Berenstein-Zelevinsky(以下BZと略記)データと呼ばれる非負整数の集合と同値な関係にあることが知られている.すなわち, BZデータによる有限型量子包絡環のベキ零部分の結晶基底の新しい実現が得られたことになる.
    我々は,この結果をアフィンのA型の場合に拡張した.より正確には,まずアフィンBZデータなる概念を定式化し,アフィンBZデータの全体が,アフィンA型の量子包絡環のベキ零部分の結晶基底と同型な結晶構造を持つことを証明した.すなわち,我々はアフィンBZデータによる,アフィンA型の量子包絡環のベキ零部分の結晶基底の新しい実現を得たことになる.我々の主結果は組合せ論的な用語で記述されているが,その証明では, Kashiwaraと研究代表者による結晶基底の幾何学的構成が,本質的な役割を果している

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  • 代数解析的手法による代数群および量子群の表現論の研究

    研究課題/領域番号：19340010  2007年 - 2009年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(B)

    谷崎 俊之, 兼田 正治, 柏原 正樹, 庄司 俊明, 浅芝 秀人, 古澤 昌秋, 有木 進, 中島 啓, 内藤 聡, 斉藤 義久, 市野 篤史

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    配分額：10660000円 （ 直接経費：8200000円 、 間接経費：2460000円 ）

    量子群は代数群のq変形である.パラメータqの値が1のベキ根以外の場合には,その表現論はよくわかっているが,1のベキ根の場合には,既約表現の分類などの基本的な問題が未解決のまま残されている.研究代表者はこの場合に,D加群の手法を用いて表現の研究を行い,微分作用素環の東屋性等の証明を得.また分担者の兼田は正標数での微分作用素環について考察を行い,これを用いて正標数の代数群の表現論における進展をもた微分作用素環について考察を行い,これを用いて正標数の代数群の表現論における進展をもたらした.

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  • ホップ代数とその量子代数学への応用

    研究課題/領域番号：18540008  2006年 - 2009年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    竹内 光弘, 西村 泰一, 内藤 聡, 増岡 彰, 内藤 聡, 増岡 彰, 増田 哲也

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    配分額：4150000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：750000円 ）

    ホップ代数と量子代数学の大きな応用分野として、準三角ホップ代数、組紐カテゴリーに関係する結び目不変量の研究がある。本プロジェクトでは上記の研究を新しい視点から見直し次のような研究を行った。
    (1)Caenepeel, Crivei, Marcusらと共同で、ガロア理論を量子化する立場から、ホップ代数Hを固定して、さまざまなH余加群代数の問の森田同値の理論(H森田理論)を研究し、Journal of Algebra誌上に発表した。
    (2)有限群の代わりに代数群(つまり可換ホップ代数)を用いたガロア理論としてのPicard-Vessiot理論をさらに発展させて量子群を用いたガロア理論に向けた準備段階としてPicard-Vessiot理論へのホップ代数的アプローチを天野勝利、増岡彰と研究し、Handbook of Algebra誌上に発表した。
    (3)研究代表者(竹内)が1977年に導入し、近年Boem, Brzezinski等から注目されているbialgebroidの枠組みで量子代数で重要な役割をはたすFRT(Faddeev, Reshetikhin, Takhtajan)構成を北大の渋川陽一氏と共同研究しJournal of Algebra誌上に発表した。

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  • 無限対称性の代数解析

    研究課題/領域番号：18340007  2006年 - 2009年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(B)

    柏原 正樹, 有木 進, KIRILLOV Anatoli, 三輪 哲二, 中島 啓, 内藤 聡, 兼田 正治, 谷崎 俊之, 中島 俊樹, 中屋敷 厚, 鈴木 武史

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    配分額：17260000円 （ 直接経費：14200000円 、 間接経費：3060000円 ）

    表現論の幾何学的、圏論的研究をおこなった。B型アフィンヘッケ環の表現論が、対称結晶基底という組み合わせ論的対象により記述できることを予想した。
    又、シンプレクティック多様体上の関数層の変形量子化を研究し、曲面のヒルベルト概型の関数層の変形量子化をもちいて有理Cherednik代数の表現論が幾何的に表現できることを示した。また、さらに、無限次元アフィン旗多様体のK-群を多項式で表すことに成功した。

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  • アフィン量子群のレベル・ゼロ表現のフュージョン積と結晶基底の研究

    研究課題/領域番号：17540008  2005年4月 - 2008年3月

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)  基盤研究(C)

    内藤 聡, 森田 純, 竹山 美宏, 佐垣 大輔, 尾角 正人

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    配分額：3670000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：270000円 ）

    アフィン・リー環gのレベル・ゼロ基本ウェイトπ_i(i=1,…,n)の非負整数を係数とする1次結合の形をしたレベル・ゼロ整ウェイトλ(に対応するDrinfeld多項式)を("pseudo-")最高ウェイトとする(アフィン量子群U_{q}(g)上の)量子Wey1加群W_{q}(λ)を考え、そのq=1の極限を取ると、アフィン・リー環gのλを("pseudo-")最高ウェイトとするWey1加群W(λ)が得られる。さらに、このW(λ)は、レベル・ゼロ基本ウェイトπ_iたちを最高ウェイトとする(gの)Wey1加群W(π_i)たちの(テンソル積ではなく)フュージョン積と(gに対応するカレント代数上の加群として)同型になる事が知られている
    一方、型がレベル・ゼロ整ウェイトλのLakshmibai-Seshadriパスの全体B(λ)からgのnull root δをmoduloとしてパスたちを同一視する操作を施して得られる("商")クリスタルB(λ)_{c1}は、量子Wey1加群W_{q}(λ)の結晶基底と同型である事が、我々の以前の研究によって分かっている。さらに、このクリスタルB(λ)_{c1}は、型がレベル・ゼロ基本ウェイトπ_iのLakshmibai-Seshadriパスの全体B(π_i)たちのクリスタルとしての(こちらは)テンソル積Bと同型である事も分かっている。
    平成17〜19年度における研究において、我々は上述のクリスタルB(λ)_{c1}上にdegree関数なる非負数値関数を定義し、それはテンソル積クリスタルB上の(尾角正人氏らが可解格子模型の研究を背景として定義した)"エネルギー関数"と上述の同型を通して同一視される事を証明した。特に、アフィン・リー環gがA型の場合を考える事によって、Kostka多項式のLakshmibai-Seshadriパスによる記述を得た。

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  • 散在型有限単純群と頂点作用素代数に内包された対称性の発見

    研究課題/領域番号：17340001  2005年 - 2008年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(B)

    宮本 雅彦, 森田 純, 北詰 正顕, 内藤 聡, 木村 達雄, 杉山 和成, 田邊 顕一郎, 和嶋 雅幸, 鈴木 寛

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    配分額：16660000円 （ 直接経費：14500000円 、 間接経費：2160000円 ）

    頂点作用素代数の研究は、有理型の条件の下で行われることが多かったが、研究代表者の研究により、C2有限条件の方が重要であることが認識された。ここでは、C2-有限型の条件の下に、非有理型頂点作用素代数を扱い、semi-rigidity という概念を導入して、その仮定の下で平坦性を証明した。
    ある種の頂点作用素代数のウエイト2の空間はグライス代数と呼ばれる可換代数である。可換代数として有名なジョルダン代数がグライス代数となるかどうかは良く分かっていなかった。ここでは、対称行列全体がなすジョルダン代数に対してそれをグライス代数として持つような任意の中心電荷を持つ頂点作用素代数を構成した

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  • 多様体上の群の作用と無限次元調和解析

    研究課題/領域番号：17634005  2005年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    西山 享, 洞 彰人, 新井 仁之, 河上 哲, 河添 健, 内藤 聡

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    配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

    本研究は多様体上の群の作用とその上の調和解析について周辺分野および応用分野を含めた研究者間の交流を図り、共同研究の下地となるように企画された。特にドイツとの交流に力点をおいたのが特徴である。
    本年は若手研究者2名(A.オールドブリッジおよびT.ヨハンセン研究員)および中堅の研究者3名(M.シュトルツ、M.フォイト、M.レースラーの各準教授)そしてハイパー群の専門家であるH.ハイヤー教授の合計6名をドイツより招聘し、分担者の属する様々な大学で多くの日本人研究者との交流を果たした。また日本からは、洞助教授、河上教授、河添教授、示野助教授の4名をドイツに派遣した。洞・河添の両名はこの企画調査によって2007年度に国際研究集会を日独間で開催するための調査と準備を綿密に行った。河上・示野の両名はそれぞれハイパー群およびダンクル作用素に関する共同研究について研究連絡を行った。これらはいずれも実り多い結果をもたらしたが、それを以下少し詳しく報告する。
    まず2007年9月に日独間で国際研究集会を開き、研究者の更なる交流を深めることで、研究分担者および協力者の合意を得た。この集会は分担者の研究分野にとらわれることなく、「無限次元調和解析」という学際的な分野において相互理解と更なる共同研究を模索するために企画された。まだ資金的な裏付けは得られていないものの、招待講演者の選定など既に具体的な集会の運営に向けて動き出している。次に、河上教授はハイヤー教授と共にハイパー群の拡張理論に作用素環の理論を応用し、有限ハイパー群の具体的な構成を目指して共同研究を開始した。また、示野助教授はリーマン対称空間の調和解析とダンクル作用素および球関数の理論との関連を研究していたが、ドイツ側の招きで連続講義を行うなど日独双方の研究状況についての意見交換を行った。このダンクル作用素の理論についてはフォイト・レースラーも多変数ベッセル関数の観点からシュティーフェル多様体上のダンクル理論を取り扱っているが、日本における研究連絡において菊地助手(京都大学)の研究しているゲルファント対との関連性を議論するなど活発な意見交換が行われた。

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  • アフィン量子群上のextremalウエイト加群のpath modelの研究

    研究課題/領域番号：14540006  2002年4月 - 2005年3月

    日本学術振興会  科学研究費助成事業 基盤研究(C)  基盤研究(C)

    内藤 聡, 竹内 光弘, 森田 純, 宮本 雅彦, 佐垣 大輔, 斉藤 義久

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    配分額：4000000円 （ 直接経費：4000000円 ）

    柏原正樹氏は、(一般の)Kac-Moodyリー環gに付随する量子群$U_q(g)$上の可積分既約最高ウエイト表現の一般化として、整ウエイト$lambda$をextremalウエイトとするextremalウエイト加群$V(lambda)$を導入した。このgがアフィン・リー環で、整ウエイト$lambda$が"レベル・ゼロ"である場合には、このextrtemalウエイト加群$V(lambda)$の商加群として、アフィン量子群の有限次元表現、特に、中島啓氏により代数幾何学的手法を通して導入されたstandard加群$M(lambda)$が得られる。そしてこれは、V.ChariとA.Pressleyにより導入された量子Weyl加群$W(lambda)$と同じものである事が分かっている。
    平成14年度から平成16年度における研究において、我々は、整ウエイト$lambda$が(レベル・ゼロの)の基本ウエイト達の和である場合に、型が$lambda$のLakshmibai-Seshadri path全体の成すcrystal $B(lambda)$からnull rootを法(modulo)として得られる商crystal $B(lambda)_{cl}$を考察した。そして、この商crystal $B(lambda)_{cl}$が実は、アフィン量子群の(レベル・ゼロの)の有限次元基本表現の結晶基底のpath model達のテンソル積とcrystalとして同型であることを示した。これらの事から、商crystal $B(lambda)_{cl}$が、standard加群$M(lambda)$の結晶基底のpath modelとみなせる事が分かる。さらに、この結果を使って、アフィン量子群上のstandard加群$M(lambda)$を、アフィン・リー環gの標準的な(有限次元簡約)部分リー環$g_O$に付随する量子群$U_q(g_O)$に制限したときの分岐則を、gのWeyl群Wの元達とW上のBruhat orderを用いて組合せ論的に記述する事が出来た。

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  • 表現論の代数解析

    研究課題/領域番号：13440006  2001年 - 2004年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(B)

    柏原 正樹, 三輪 哲二, 中島 啓, 谷崎 俊之, 内藤 聡, 中島 俊樹, KIRILLOV Anatol, 兼田 正治

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    配分額：16700000円 （ 直接経費：16700000円 ）

    この計画においては、表現論の幾何学的、組合わせ論的部分に焦点をあて、1.無限次元代数の表現論、2.シンプレクティック多様体上のホロノミック系3.幾何学的表現論4.組合せ論的表現論に分けて研究することを目的とした。この4年で得られた主要な成果は次の通りである。
    1.(1)可解格子系のform factorを積分で表す研究の発展として、その被積分関数を全体として考えると、そこにアフィン量子群の対称性が現れることがわかった(三輪他)。こうして得られた表現は、アフィン量子群の表現としては、正レヴェルの積分可能表現と負レヴェルの積分可能表現のテンソル積となることが示される(三輪・柏原他)。この結果の証明には、下記の(2)に述べる中島の結果が重要な鍵となる。(2)中島啓は、アフィン量子群の積分可能表現の大域基底、結晶基底の研究を行い、柏原の予想をほぼ完全に解いた。これによれば、extremalな大域基底が一般線形群の既約表現と1対1に対応することが得られる。
    2.Schapiraは、シンプレクティック多様体上に標準的なスタックを構成した。これは、パラメーターをもち、それが零の時は、シンプレクティック多様体の関数環上の加群のスタックと一致する。これのホロノミー加群の研究は続行中であるが、これは数理物理とも関係して、興味ある三角圏を提供すると期待できる。
    3.谷崎は、量子群の場合に、旗多様体上のD-加群と量子群の表現の対応関係を確立した。
    4.中島俊樹は、アフィン量子群の旗多様体に付随した幾何結晶を考察し、その超離散化がデマズール加群の結晶基底と一致することを示した。柏原・中島俊樹は、基本重みの倍数を重みとする既約表現の結晶基底を得るため、別の旗多様体をもちいる方法を尾角と共同研究を行った。

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  • 頂点作用素代数のモジュラー不変のヒルベルト型、ジーゲル型への拡張を目指して

    研究課題/領域番号：13440002  2001年 - 2004年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(B)

    宮本 雅彦, 森田 純, 木村 達雄, 内藤 聡, 竹内 潔, 北詰 正顕, 佐垣 大輔, 星野 光男

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    配分額：14200000円 （ 直接経費：14200000円 ）

    頂点作用素代数(略してVOA)の概念は、モンスター単純群(最大の散在型有限単純群)と古典的モジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するために構成されたムーンシャイン加群(ムーンシャイン頂点作用素代数)から来ている。現在では、数理物理における2次元共形場理論(のカイラル代数)に対して厳密な公理を与えたものとも理解されているが、モジュラー不変性を仮定していないにもかかわらず、幾つかの有限性条件の下でモジュラー不変性が出て来るという神秘的な性質を持っている。我々の研究の目的は、このモジュラー不変性の起源を明らかにし、それを多変数型(例えば、ヒルベルト型やジーゲル型)のモジュラー不変性に拡張する為の基礎を構築することにある。本研究で得た研究成果は以下の通りである。
    (1)最初のムーンシャイン頂点作用素代数の構成は複雑なオービフォルド理論を利用していたが、ここでは、最も基本的な共形場理論であるイジング模型を使ってムーンシャイン頂点作用素代数を構成した。これにより、直積型ではあるが、多変数型のモジュラー不変性(保形性)を示す最初の例を構成した。
    (2)これまではモジュラー不変性を導く有限条件として、有理性(加群が完全可約であること)が本質的であると理解されてきた。本研究では、pseudo-trace関数というものを導入することで、有理性は本質的ではなく、技巧的だと思われていたC2有限性こそが本質的な条件であることを示した。
    (3)ジーゲル型のモジュラー不変性を得るためには、ユークリッド型ジョルダン代数をグライス代数として持つ頂点作用素代数が必要であるが、これまでは、中心電荷がランクと一致するものしかなく、これでは、古典的なジーゲルモジュラー形式しか得ることができなかった。本研究では、任意の中心電荷に対して、ジョルダン代数をグライス代数として持つものを構成した。
    (4)頂点作用素代数を構成した場合、その自己同型群を求めることは重要な問題であるが、本研究で構成するものはほとんど宮本involutionという位数2の元を含んでいる。それゆえ、位数2の元の中心化群から全体の自己同型を求めることが役に立つ。本研究では、これに対する位数公式を導いた。

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  • 小行列式型微分作用素の大域的性質と対称空間上の積分幾何

    研究課題/領域番号：13640203  2001年 - 2002年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    筧 知之, 平良 和昭, 佐々木 建昭, 梶谷 邦彦, 内藤 聴, 宮本 雅彦, 若林 誠一郎, 竹内 潔, 土居 伸一

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    配分額：4000000円 （ 直接経費：4000000円 ）

    1.パフィアン型作用素とアファイングラスマン多様体上のラドン変換:G(d,n)によりRnにおけるd次元平面の全体からなるアファイングラスマン多様体を表すものとする。すると、包含関係をincidence relationとするラドン変換R^p_qが、G(p,n)上のC^∞関数をG(q,n)上のC^∞関数に移す変換として定まる。s及びrを、それぞれG(p,n),及びg(q,n)の階数とする。この時、我々の得た結果は以下の通りである。(1)p<qかつs<rである場合。ラドン変換R^p_qの像は、ある2s+2階の単独のパフィアン型不変微分作用素の零解の空間として特徴付けられる。(2)p<qかつs【less than or equal】rである場合。この時、ラドン変換R^p_qの反転公式はDR^q_pR^p_q=Iなる形で与えられる。ここで、Dは生成作用素と呼ばれる作用素で、パフィアン型不変微分作用素で表され、その具体的な表示も得た。(3)p<qかつs<rである場合。ラドン変換R^p_qの像は、あるs+1階のパフィアン型不変微分方程式系の零解の空間として特徴付けられる。ただし、この場合(1)と違い、全く異なる2種類のパフィアン型作用素が像を特徴付ける微分方程式系の中に現れるのである。なお、この結果はゴンザレス氏との共同研究によって得られたものである。
    2.ラドン変換に対するソボレフ型評価。基本的にラドン変換は、関数を部分多様体上で積分するというものである。故に、ラドン変換は関数をある程度滑らかにするものと予想される。実際、ストリカーツによってq-plane変換R^0_qはL^2関数をオーダーq/2のソボレフ空間H^<q/2>に移すことが示されている。この場合、滑らかさの増大度は対応するdouble fibrationのファイバーの次元に比例している。しかし、一般の変換R^p_qの場合、滑らかさの増大度が対応するdouble fibrationのファイバーの次元に比例しない、という意味でR^p_qは、それ程関数を滑らかにはしない、ということを発見した。

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  • 変形頂点作用素代数の次数2の空間とモジュラー不変性

    研究課題/領域番号：12874001  2000年 - 2001年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  萌芽的研究

    宮本 雅彦, 内藤 聡

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    配分額：2200000円 （ 直接経費：2200000円 ）

    頂点作用素代数の概念は現在、2次元共形場理論を代数化したものと理解されているが、通常の2次元共形場理論がモジュラー不変性を仮定するのに比べて、頂点作用素代数の公理にはこのようなモジュラー不変性が入ってはいない。しかしながら、ズーが証明したように、強いモジュラー不変性を示している。通常は一変数のトレイス関数がモジュラー不変性を示すのであるが、本研究は研究代表者の宮本が単純なトレイス関数だけではなく、変形頂点作用素代数の次数の空間における共形元の直和を使い、多変数のトレイス関数を定義したにも関わらず、大きな群に対する不変性をしめしたのが出発点である。平成12年度では、ムーンシャイン頂点作用素代数において、48組の共形元を使ってトレイス関数を定義することにより、48変数関数を定義し、この関数が非常に大きな群に対して不変性を持つことを示した。平成13年度では格子型頂点作用素代数内のジョルダン部分代数を使うことによってジーゲル型のモジュラー形式が構成できることを示した。これは格子型ではないムーンシャイン頂点作用素代数に対しても応用することが出来、これからの発展が期待できる結果である。この萌芽研究は頂点作用素代数が従来いわれていたように、リーマン面上の関数だからモジュラー不変性を持つという曖昧な考察を乗り越え、より深い構造を持っているということを結論付けたことで成功したと思える。

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  • 量子行列とホップ代数の研究

    研究課題/領域番号：11640007  1999年 - 2002年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    竹内 光弘, 内藤 聡, 森田 純, 宮本 雅彦, 増田 哲也, 増岡 彰

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    配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）

    量子行列と量子群に関係するホップ代数についてこの4年間に次の研究成果を挙げた。1.組紐カテゴリーにおける有限ホップ代数についてホップ加群、積分等の基礎的事項及び応用についての成果をJ. Pure and Appl. Alg.に発表した。2.量子行列の変種としてcylinder行列及びcylinder代数の概念を創出しこれについての成果をJ. Alg.に発表した。3.土井との共同研究で双フロベニウス代数の新概念を創出し、その主要性質及び組紐版についての成果をContemp. Math.に発表した。4.モジュラー圏とホップ代数について新たな視点から考察し、EtingofとGelakiによる既約加群の次元についての結果を初等的に証明し、この成果をJ. Alg.に発表した。5.量子行列に関するこれまでの研究成果を集大成し、とくに結び目、線形代数の量子化、Homtly多項式との関係、ヘッケ代数とq-Schur代数、コサイクル変形などに重点をおいてMSRI Publ.に発表した。6.群のmatched painについて最近のESS-LYZ理論に対し新たな視点から研究し普遍組紐群の構成等に成果を挙げた。7.Radford-Majidのボゾン化に対しSchauenburg同値を用いた新たなアプローチについて新知見を得た。この他各研究分担者も本テーマに関連して多数の研究成果を挙げそれぞれ学術論文として発表した。

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  • 概均質ベクトル空間から弱球等質空間への発展

    研究課題/領域番号：11440001  1999年 - 2001年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(B)

    木村 達雄, 森田 純, 宮本 雅彦, 竹内 光弘, 内藤 聡, 平良 和昭

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    配分額：11100000円 （ 直接経費：11100000円 ）

    今年度の進展は一般腺形代数群をその既約部分群で割って得られる空間で弱球等質空間(既約弱球等質空間と仮称する)になるものの分類である。既に得られた単純代数群とスカラー倍たちで割って得られる弱球等質空間の分類の場合と異なる難しさは、ひとつの既約弱球等質空間を与えるとそれから裏返し交換という手続きで無限個の既約弱球等質空間が得られてしまうので、裏返し交換と弱球等質空間性を明らかにする必要があるところである。ここが解明されたので、正則概均質ベクトル空間に対応する既約弱球等質空間の分類は完成した。しかし非自明な概均質ベクトル空間の裏返し変換から得られる既約等質空間の分類は現在進行中である。

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  • generalized Kac-Moodyリ-環と、関連する保型形式の研究

    研究課題/領域番号：11740004  1999年 - 2000年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  奨励研究(A)

    内藤 聡

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    配分額：2300000円 （ 直接経費：2300000円 ）

    Kac-Moodyリー環gの典型的な外部自己同型写像として、ディンキン図形のグラフとしての自己同型写像から誘導されるもの(diagram automorphism)ω∈Aut(g)がある。最高ウエイトΛ∈η^*がこのωで固定される(symmetric weightである)場合には、λを最高ウエイトとする既約最高ウエイトg-加群L(Λ)は、ωで(gの)作用をtwistして得られる加群と同型になる。従って、この時L(Λ)上にはintertwining作用素τ_ω∈End_C(L(Λ))が存在する。このintertwining作用素τ_ωの(ウエイトによる)次数付きトレースはtwining characterと呼ばれる。
    今、Λがsymmetricな優正形式で、ωがωで固定されるWeyl群Wの元であるとする。この時L(Λ)の、ウエイトω(Λ)∈η^*のウエイトベクトルυ_<ω(Λ)>∈L(Λ)が生成するBorel部分環b上の部分加群L_ω(Λ)=U(b)υ_ω(Demazure加群)は、intertwining作用素τ_ω∈End_C(L(Λ))で不変であり、従ってそのtwining characterも定義される。私は、gが有限次元半単純リー環の場合に、このDemazure加群L_ω(Λ)のtwining characterを決定した。これは、gをリー環とする線型代数群GのBore1部分群Bがウエイト∧で作用する一次元加群C_Λに付随する、flag variety X:=G/B上のG-同変直線束L(Λ)を考え、Demazure加群L_ω(Λ)をSchubert variety X_ω:=BωB/B^^-⊂G/B上のL(Λ)の大域切断の成す空間H^0(X_<ω1>L(Λ))として実現する事により、代数幾何学的手法を用いて成された。
    さらに私は、gが一般のKac-Moodyリー環の場合に、既約加群L(Λ)の基底の自然なパラメトリゼーションを与える事がLittelmannにより示されている、クラスΛのLakshmibai-Seshadri pathの全体B(Λ)へのdiagram automorphismω∈Aut(g)の作用を調べた。そして、ωで不変なB(Λ)の元の全体は、gのorbit Lie algebra gについてのクラスΛのLakshmibai-Seshadri pathの全体と自然に同一視出来る事を示した。

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  • 24次元メロモルフィック頂点作用素代数の完全な分類を目指して

    研究課題/領域番号：09440004  1997年 - 2000年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(B)

    宮本 雅彦, 森田 純, 内藤 聡, 木村 浩, 小木曽 岳義, 北詰 正顕

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    配分額：9700000円 （ 直接経費：9700000円 ）

    頂点作用素代数はモンスター有限単純群とモジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するムーンシャイン予想の解として構成されたムーンシャイン頂点作用素代数が出発点であるが、物理における弦理論などで注目されている2次元共形場理論の厳密な数学的定義であることが分かってきた。特に、物理的な意味において24次元メロモルフィック頂点作用素代数は非常に重要な意味を持っているが、現時点で知られているものは24次元のニイマイヤ格子から構成された頂点作用素代数とそれらのオービフォルド構成による頂点作用素代数だけといって過言でない状態である。ところが、これらはすべて48個のアイジング模型のテンソル積を含んでいることがドン、メイソン達の研究によって知られていた。
    研究代表者の宮本は、この基盤研究によってアイジング模型を含む頂点作用素代数の研究を続けており、平成9年度には、コード頂点作用素代数という扱いやすいものを定義し、その表現を決定した。平成10年度では、さらにハミングコード頂点作用素代数に注目し、そのフュージョン規則なども決定し、さらに、平成11年度には、ムーンシャイン頂点作用素代数の新しい構成法を見つけた。平成12年度はそれらの構成を格子型頂点作用素代数などに応用し、既存の24次元ホロモルフィック頂点作用素代数はすべてこの方法によって構成できることが分かった。また、この方法により、コード頂点作用素代数のツイスト加群の構成に成功している。ツイスト加群はそれまで非常に単純な場合にしか構成されていなかっただけに、進展が期待できる。特に、ムーンシャイン予想の本質であるムーンシャイン頂点作用素代数のツイスト加群がこの方法によって構成できる可能性が高いので、この方面の研究の進展が群論とのつながりを含め、もう少し研究する必要がある。

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  • 量子被素上半空間上の非可換幾何学と非コンパクト量子群の離散部分群

    研究課題/領域番号：09640006  1997年 - 1998年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  基盤研究(C)

    増田 哲也, 筧 知之, 森田 純, 竹内 光弘, 金戸 武司, 内藤 聡, 加藤 久男, 宮本 雅彦

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    配分額：3000000円 （ 直接経費：3000000円 ）

    本研究の最終目標は非コンパクト型量子群SU_7(1,1)及びその量子離散部分群と考えられる量子モジュラー郡を用いて保型関数論の量子化を構築する事である。この方向に向けての実質的な努力が本研究でなされた。
    この目的のためには多くの技術的な困難がある。実際、古典的な場合であってもモジュラー群SL(2,Z)は非コンパクトリー群SL(2,R)【similar or equal】SU(1,1)の無限離散部分群としてザリスキー位相に関して稠密であるので、埋めこまれる方のリー群上の多項式関数だけでは識別できない。ここに関数解析学の問題が生じる。また現在までの所、離散群の自然な量子化として知られたものは一つも存在しない。この問題の技術的な解説をした報告論文を研究代表者は発表した。
    この様な考察から、取り敢えずは離散群の典型的な実例である有限群の量子化可能性及びその実例を調具体的にべる事を考え、与えられた有限次元ベクトル空間上のホップ代数構造全体の空間(モジュライ空間)を具体的に構成し、それを代数幾何学的に調べる事を考えた。この問題に関して研究代表者は昨年の春にドイツ・ミュンヘン大学のシュナイダー教授と親密な研究連絡を行い、有限群の量子化可能性に就いて多くの議論を行ったが、ポップ代数の枠内ではかなり次元が高くないと「連続族」は存在しない事が確認された。この議論を基に研究代表者は双代数の分類をそのプログラムの一部とする速報論文を発表した。
    この間に、非連結なコンパクト型量子群の自然な実例である量子二重トーラスを構成する事にも成功し、ハヤッツ氏との共著論文を発表した。また同論文の中で量子二重トーラスを自然に包含する量子4次元コンパクト型量子群であるU_9(2)も発見した。この対象に対しては非可換微分幾何学的な研究が将来期待される。

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  • generalized Kac-Moody algebraの構造と表現の研究

    研究課題/領域番号：09740005  1997年 - 1998年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  奨励研究(A)

    内藤 聡

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    配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

    位数最大の散在型有限単純群であるMonster群Mに関するmoonshine予想の研究において、Borcherdsはgeneralized Kac-Moody algebra(=GKM環)と呼ばれる無限次元リー環の新しいクラスを導入した。これは、1960年代の終わりにKacとMoodyにより有限次元単鈍リー環の拡張として導入されたKac-Moodyリー環を、さらに一般化したものであった。
    私は先ず、GKM環g上の既約最高ウエイト表現L(λ)の指標公式を、その最高ウエイトλε〓が、必ずしも全てのreal coroot上で整数値ではないが、その値があるrealcoroot上で整数であるならそれは非負でなければならない、という条件を満たす時に、得た。これは、Kac-Moodyリー環の場合のKac-Wakimotoによる指標公式の拡張となっている。
    又、全てのsimple coroot上で非負の有理数値を取るウエイトΛε〓をWeyl群Wのドットo作用で動かしたものωoΛを最高ウエイトとするg上の既約最高ウエイ卜表現L(woΛ)の指標を、Kazhdan-Lusztig多項式と呼ばれる多項式を用いて記述する指標公式を、Kac-Moodyリー環の場合の柏原-谷崎の結果を用いる事により、得た。
    さらに、gが有限、又はaffine型のKac-Moodyリー環の場合に、Dynkin図形のdiagramautomorphismから“symmetric"ウエイトλε〓を最高ウエイトとする既約最高ウエイト表現L(λ)上に誘導されるintertwinerの、各ウエイト空間上のトレースの母関数であるtwining characterに関する公式を、λはもはや優正形式ではないが、(上記の)Kac-Wakimoto型の場合の条件に加えてさらにある良い性質を持つ場合に、得た。

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  • generalized Kac-Moody algebraの表現の研究

    研究課題/領域番号：08740006  1996年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  奨励研究(A)

    内藤 聡

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    配分額：1100000円 （ 直接経費：1100000円 ）

    generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)はR.E.Borcherdsにより近年導入された無限次元リー環の一クラスで、Kac-Moodyリー環の自然な一般化であるが、最近数理物理学との関連で様々な双曲型の格子をroot格子とする(Kac-Moodyリー環ではない)GKM algebraが注目されている。
    GKM algebra g(A)の普遍包絡環U(g(A))の(結合代数としての)中心は、g(A)の表現論において重要な役割を果たすものである。g(A)が有限次元半単純リー環の場合には、この中心をg(A)のCartan部分環ηの双対空間η^*上のWeyl群不変な多項式関数環S(η)^Wとして実現するHarish-Chandra準同型の存在及びその性質は、良く調べられている。しかし、g(A)が無限次元の場合には、(Kac-Moodyリー環の場合であっても)このHarish-Chandra準同型についての研究は、V.G.Kac自身によるものの他は、あまり成されていない。
    私は、g(A)がKac-Moodyリー環の場合のKacの結果に欠陥を発見し、それを修正して、さらにGKM algebraの場合にまで拡張した。これはGKM algebra g(A)の完備化された普遍包絡環の中心を、η^*の部分領域である(複素化された)Tits coneの内部K上の(ある関数方程式を満たす)正則関数の成す環として実現するというものである。
    なお、上記の結果は、論文“On the Harish-Chandra homomorphism for generalized Kac-Moody algebras"としてまとめられ、近く投稿する予定である。

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  • generalized Kac-Moody algebra の表現論の研究

    研究課題/領域番号：07740015  1995年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  奨励研究(A)

    内藤 聡

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    配分額：1000000円 （ 直接経費：1000000円 ）

    generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebre)は、R. Borcherds により数理物理学(特に弦理論、そして2次元共形場理論)との関連から導入された無限次元リー環のクラスであり、Kac-Moody リー環の自然な一般化でもある。
    多くのGKM algebra g(A)の分母公式に現われる denominator function は、g(A) のCartan 部分環の部分集合として実現される Hermite 対称空間上の有理型関数とみなした時に、ある種の離散群の作用に関する保型性を持つ。この分母公式は、g(A)の Borel 部分環b^-の巾零根基をn^-とした時の、ホモロジー群H_p(n^-. C) (p【greater than or equal】o)の指標の交代和を取る事により得られるので、上記の保型性を研究する際には、このホモロジー群 H_p(n^-.C)の構造を調べる事により重要な手掛かりが得られると考えられる。
    私は、b^-をより一般にg(A)の放物型部分環p^-にして、その巾零根基をu^-のホモロジー群H_p(u^-.C)をp^-を得、それを用いて個々の具体的なGKM algebreのroot multiplicities (特にそれらの間の関係式)を調べた。現地点では未だあまりよい結果は得られていないが、最近、物理学者らによりroot multiplicities の幾何学的意味付けが可能な GKM algebreの例も見出されつつあるので、今後この研究はさらに発展するものと期待される。
    なお、現在までに得られた結果は、論文“Some topics on the representation theory of generalized Kac-Moody algebras" としてまとめられ、Seoul 国立大学校において開催された“リー環とその表現"についての国際シンポジウムの報告集(アメリカ数学会発刊)に掲載予定である。

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  • 一般化されたKac-Moodyリー環の表現の研究

    研究課題/領域番号：06740017  1994年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  奨励研究(A)

    内藤 聡

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    配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

    generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)は、近年Borcherdsにより、位数最大の散在型有限単純群であるMonster群の無限次元表現moonshine moduleの研究の過程において導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化ともなっている。
    今、g(A)を、対称なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、p^-をそのopposite parabolic subalgebra、そしてu^-はp^-のnilpotent radical、mはp^-のmaximal reductive subalgebraであるとする。このとき、自明な一次元加群Cに係数を持つu^-のホモロジー群Hp(u^-,C)(p【greater than or equal】0)の、m-加群としての既約分解を決定する事は非常に重要な問題であり、mがKac-Moodyリー環の場合には、既に解決されている。特に、p^-がopposite Borel subalgebra b^-であるときは、このホモロジー群の指標の交代和を取る事により、ある種の離散部分群に関する有理型保型形式が得られる事が分かっている。
    ところが、mが必ずしもKac-Moodyリー環でない場合、即ち、一般のGKM環である場合には、カテゴリーOに属するGKM環上の加群が完全可約である為の良い十分条件が知られていなかった事もあって、あまり調べられていなかった。
    私は、この完全可約性の為の(かなり一般的な)一つの十分を得、それを利用して、ある条件の下でホモロジー群Hp(u^-,C)がm-加群として完全可約である事を示し、そのm-既約成分への直和分解を決定した。
    さらに、今後の計画としては、この結果をGKM環のroot multiplicity等の研究に応用する事を考えている。

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  • 複素解析学と関連分野の研究

    研究課題/領域番号：06640224  1994年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  一般研究(C)

    佐藤 宏樹, 内藤 聡, 中西 敏浩, 古森 雄一, 白井 古希男, 松田 稔

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    配分額：1700000円 （ 直接経費：1700000円 ）

    この研究の主要な目的はSchottky空間の境界様相を調べることとSohottky群のlimit set のHausdorff次元を求めることであった。特に、種数2の古典的Schottky空間のSchottky群を調べることであった。これらの目的に対して8種類の古典的Schottky群すべてについてそれぞれのタイプのヨルゲンセン数の最小値を求めることに成功した。その結果のみを「研究発表」で述べた雑誌に発表した。それらの証明付きの正式な論文は第1と第IVタイプについてはすでに1992年に発表しており、第II,VI,VIIについては、Jorgensen's inequality for classical Schottky groups of real type という題名で Journal of Mathematical Society of Japanに1994年に投稿した。また、残る第III,V,VIIIタイプについての証明付きの正式な論文は現在準備中である。次に、8種類の古典的Schottky 空間に関してもそれらの形状、基本領域およびmodular群について、既に第1,IVタイプについては1988年に、第II,V,VIIタイプについては1991年に発表しており、残りの第III,VI,VIIIタイプについてはClassical Sohottky groups of real type of genus two,IIIという題名で既に完成している。近々に投稿を予定している。
    分担者による基礎論、関数解析学、Kac-Moody algebra、Teichmuller spaceなどの研究も所期の目的を達している(「研究発表」参照)。

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  • Kac-Moodyリー環とその表現の研究

    研究課題/領域番号：05740015  1993年

    日本学術振興会  科学研究費助成事業  奨励研究(A)

    内藤 聡

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    配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

    generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)はCambridge大学のR.Borcherdsにより近年、数理物理学との関連から導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化となっている。
    今、g (ALPHA)を、対称化可能なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、etaをそのCartan部分環、W⊂GL(eta*)を対応するWeyl群とする。私は、優整形式LAMBDA∈eta*とomega∈Wに対して、omega(LAMBDA+rho)-rhoを最高ウエイトとするg(A)上の既約最高ウエイト表現L(omega(LAMBDA+rho)-rho)の指標を、Kazhdan-Lusztig多項式と呼ばれる、Hecke環の基底の変換の際に現れるある整数係数の多項式を用いて記述する事に(行列Aについての弱い条件の下で)成功した。(ここでrho∈eta*は、g(A)が有限次元半単純リー環の場合には全ての正ルートの和の1/2倍にあたるものである。)
    これは、g(A)が有限次元半単純リー環の場合にD.KazhdanとG.Lustigにより、そして対称化可能なKac-Moodyリー環の場合にはV.Deodhar,O.Gabber,V.Kacにより提出され、どちらの場合も京都大学数理解析研究所の柏原正樹教授等により解決された結果(Kazhdan-Lusztig予想)の一般化とみなせる。
    上記の私の結果は、2つの論文"Kazhdan-Lusztig multiplicity formula for general-ized Kac-Moody algebras,I:Towards the conjecture"、"Kazhdan-Lusztig multi-plicity formula for generalized Kac-Moody algebras,II:Proof of the conjecture"としてまとめられ、共に現在投稿中である。さらにこれらの論文の要約が、論文"Kazhdan-Lusztig-type multiplicity formula for symmetrizable generalized Kac-Moody algebras"として投稿中である。

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