Country：Japan

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Grant amount：\4550000 （ Direct Cost: \3500000 、 Indirect Cost：\1050000 ）

Around 2000, Mirkovic and Vilonen defined a new class of algebraic cycles in affine Grassmanians, called Mirkovic-Vilonen(MV for short) cycles. By the definition, these cycles has an action of a real maximal Torus, and their moment map image are plopytoles in a real Cartan subalgebra, called MV polytopes. After their work, Kamnitzer defined a crstal structure on the set of all MV polytopes, and proved that it is isomorphic to the crystal basis of the negative half of quantum universal enveloping algebras of finite type. Moreover, it is known that the followings are eqivalent : to give a MV polytope, and to give a collection of nonnegative integer, called Berenstein-Zelevinsky(BZ for short) data. In other words, he introduced a new realization of the crystal basis of the negative half of quantum universal enveloping algebras of finite type, by using BZ data.
In this study, we generalize his result to the case of affine type A. More precisely, we define a notion of affine BZ data, and prove that the set of all affine BZ data has a crystal structure which are isomorphic to the negative half of quantum universal enveloping algebras of affine type A. Namely, we get a new realization of the crystal basis of the negative half of quantum universal enveloping algebras of affine type A, by using affine BZ data. Our main results are stated by combinatorial language, but in our proof, a geometric construction of crystal basis due to Kashiwara and the author plays a crucial role.

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Grant amount：\10660000 （ Direct Cost: \8200000 、 Indirect Cost：\2460000 ）

Qyabtyn griyos are q-deformations of algebraic groups. When the parameter q is not a root of 1, its representation theory is well unerstood ; however, when q is a root of 1, there still remain fundamental problems such as classification of irreducible modules which are not yet solved. The head investigator Tanisaki made research on it using the method of D-modules, and obtained several results like the Azumaya property of certain rings of differential operators. The investigator Kaneda investigated the ring of differential operators in positive characteristics, and made progress in the representation theory of algebraic groups in positive characteristics.

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Grant amount：\4150000 （ Direct Cost: \3400000 、 Indirect Cost：\750000 ）

Hopf algebras and quantum algebra theory are applied in the study of quasi-triangular Hopf algebras, braided categories and knot invariants. In this proposal, we have studied the following topics as well as reviewing the above studies from a new viewpoint.
(1) We have studied H Morita theory, i.e., the theory of Morita equivalences between various Hcomodule algebras with a fixed Hopf algebra H from the viewpoint of quantization of Galois theory, and published a joint paper with Caenepeel, Crivei and Marcus in the Journal of Algebra.
(2) We have studied Picard-Vessiot theory, i.e., Galois theory using algebraic groups (or commutative Hopf algebras) instead of usual groups and its generalization towards Galois theory using quantum groups. As its preliminaries we have studied Hopf algebraic approach to the Picard-Vessiot thery and published a joint paper with Katsutoshi Amano and Akira Masuoka in the Handbook of Algebra.
(3) The principal investigator (Takeuchi) introduced the concept of bialgebroids in 1977. This concept is recently studied very actively by Boem, Brzezinski and so on. We have studied the FRT (Faddeev, Reshetikhin, Takhtajan) construction which plays an mportant role in the quantum group theory in the frame work of bialgebroids and published a joint paper with Youichi Shibukawa, Hokkaido University in the Journal of Algebra.

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Grant amount：\17260000 （ Direct Cost: \14200000 、 Indirect Cost：\3060000 ）

I have studied representation theory via geometric methods and categorical methods. I conjectured that the representation theory of affine Hecke algebras of type B is described by the symmetric crystals which we introduced for this purpose. I also studied deformation quantizations of the structure sheaf of symplectic manifolds, and applied this theory to the study of the representation theory of rational Cherednik algebrasvia a deformation quantization of the Hilbert scheme of surfaces. I also succeeded to express the K-theory of the flag manifolds of affine Lie algebras by the polynomial rings.

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Grant amount：\3670000 （ Direct Cost: \3400000 、 Indirect Cost：\270000 ）

Let g be an affine Lie algebra over the complex numbers, and let λ be a level-zero integral weight that is a sum of level-zero fundamental weights π_I, I=1, . N, with repetitions allowed. We consider the quantum Weyl module W_{q} (λ) over the quantum affine algebra U_{q} (g) associated to certain Drinfeld polynomials corresponding to λ. It is known that the classical limit (I. e., "q=1" limit) of W_{q} (λ) becomes the Weyl module W (λ) over the affine Lie algebra g. Also, it is known that the Weyl module W (λ) is isomorphic (as a module over the Current algebra corresponding to g) to a fusion product of the Weyl modules W (π_I), I=1, . N.
In our previous works, we showed that the crystal B (λ)_{cl} of Lakshmibai-Seshadri paths (modulo the null root δ of g) of shape λ is isomorphic as a crystal to the crystal basis of the quantum Weyl module W_{q} (λ). Moreover, we showed that the crystal B (λ)_{cl} is isomorphic as a crystal to a tensor product B of the crystals B (π_I), I=1, ., n
In our series of works from 2005 to 2007, we defined a certain (nonnegative) integer-valued function (which we call the degree function) on the crystal B (λ)_{cl} above, and proved that this degree function can be identified (through the isomorphism between B (λ)_{cl} and B) with the "energy function" on B, which arose from the study of solvable lattice models in statistical mechanics. In particular, by restricting ourselves to the case of affine Lie algebras of type A, we obtain a description of Kostka polynomials in terms of Lakshmibai-Seshadri paths.

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Grant amount：\16660000 （ Direct Cost: \14500000 、 Indirect Cost：\2160000 ）

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Grant amount：\3300000 （ Direct Cost: \3300000 ）

本研究は多様体上の群の作用とその上の調和解析について周辺分野および応用分野を含めた研究者間の交流を図り、共同研究の下地となるように企画された。特にドイツとの交流に力点をおいたのが特徴である。
本年は若手研究者2名(A.オールドブリッジおよびT.ヨハンセン研究員)および中堅の研究者3名(M.シュトルツ、M.フォイト、M.レースラーの各準教授)そしてハイパー群の専門家であるH.ハイヤー教授の合計6名をドイツより招聘し、分担者の属する様々な大学で多くの日本人研究者との交流を果たした。また日本からは、洞助教授、河上教授、河添教授、示野助教授の4名をドイツに派遣した。洞・河添の両名はこの企画調査によって2007年度に国際研究集会を日独間で開催するための調査と準備を綿密に行った。河上・示野の両名はそれぞれハイパー群およびダンクル作用素に関する共同研究について研究連絡を行った。これらはいずれも実り多い結果をもたらしたが、それを以下少し詳しく報告する。
まず2007年9月に日独間で国際研究集会を開き、研究者の更なる交流を深めることで、研究分担者および協力者の合意を得た。この集会は分担者の研究分野にとらわれることなく、「無限次元調和解析」という学際的な分野において相互理解と更なる共同研究を模索するために企画された。まだ資金的な裏付けは得られていないものの、招待講演者の選定など既に具体的な集会の運営に向けて動き出している。次に、河上教授はハイヤー教授と共にハイパー群の拡張理論に作用素環の理論を応用し、有限ハイパー群の具体的な構成を目指して共同研究を開始した。また、示野助教授はリーマン対称空間の調和解析とダンクル作用素および球関数の理論との関連を研究していたが、ドイツ側の招きで連続講義を行うなど日独双方の研究状況についての意見交換を行った。このダンクル作用素の理論についてはフォイト・レースラーも多変数ベッセル関数の観点からシュティーフェル多様体上のダンクル理論を取り扱っているが、日本における研究連絡において菊地助手(京都大学)の研究しているゲルファント対との関連性を議論するなど活発な意見交換が行われた。

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Grant amount：\4000000 （ Direct Cost: \4000000 ）

M.Kashiwara introduced the notion of an extremal weight module $V(lambda)$ with an integral weight $lambda$ as an extremal weight over the quantum group $U_q(g)$ associated to a (general) Kac-Moody algebra $g$, by generalizing the notion of an integrable highest weight module. When $g$ is an affine Lie algebra and an integral weight $lambda$ is of level zero, we obtain certain finite-dimensional representations of a quantum affine algebra as quotient modules of the extremal weight module $V(lambda)$. For example, we obtain standard modules $M(lambda)$ introduced by H.Nakajima by an algebro-geometric method, which have turned out to coincide with quantum Weyl modules $M(lambda)$ introduced by V.Chari and A.Pressley. In our series of works from 2002 to 2004, for an integral weight $lambda$ of level zero that is a sum of level-zero fundamental weights for the affine Lie algebra $g$, we studied a certain crystal $B(lambda)_{cl}$, which is (modulo the null root of $g$) the crystal of all Lakshmibai-Seshadri paths of shape $lambda$. As a result, we proved that this crystal $B(lambda)_{cl}$ is isomorphic as a crystal to a tensor product of the path models for level-zero fundamental representations of the quantum affine algebra. From this result, we see that the crystal $B(lambda)_{cl}$ can be thought of as a path model for the standard module $M(lambda)$. Moreover, using our results above, we can describe the branching rule of the standard module $M(lambda)$ over the quantum affine algebra with respect to the restriction to the quantum group $U_q(g_0)$ associated to a (canonical) finite-dimensional reductive Lie subalgebra $g_0$ of $g$ in a combinatorial way, by using elements of the Weyl group $W$ of $g$ and the Bruhat order on $W$.

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Grant amount：\16700000 （ Direct Cost: \16700000 ）

In this project, we focused at geometric and combinatorial aspects of representation theory. Here are main achievements in these four years.
1.(1)In the coarse of the study of the form factors of exactly solvable models as integrals, their integrands have a symmetry of affine quantum groups (Miwa et al.) The representation thus obtained is in fact the tensor product of integrable representations in positive level and negative level. This result will be proved by using the result by Nakajima given below. (2)Nakajima studied global bases and crystal bases of affine quantum groups. In particular, he showed the global bases with extremal weight correspond one-to-one to the irreducible representation of the general linear groups.
2.Schapira constructed a canonical stack on the symplectic manifolds. It contains a parameter, and when it vanishes, the stack is equivalent to the one of modules over the ring of the functions. 3.Tanisaki achieved the one-to-one correspondence between D-modules on the quantized flag manifold and the modules over the quantum group. 4.Nakashima constructed geometric crystals associated to the Schubert cells and prove that their ultra-discretization coincide with the crystal for Demazure modules. Kashiwara and Nakashima, together with Okado, is studying the method to use another flag manifold in order to obtai the perfect crystals.

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Grant amount：\14200000 （ Direct Cost: \14200000 ）

A concept of vertex operator algebras (VOA shortly) has originated from the moonshine vertex operator algebra, which was constructed in order to explain a mysterious relation (the moonshine conjecture) between Monster simple finite group (the largest sporadic finite simple group) and the classical elliptic modular function. Our purpose of this project is to clarify the modular invariance property of VOAs and extend it in multivarables. (1)We found a new construction of the moonshine vertex operator algebra by using Ising models, which offers a new modular invariance in multivariables. Compared with the original construction, our construction is easy and we can apply our construction for many other VOAs. (2)We have shown that C2-condition is enough to get, a modular invariance. Classically, the rationality (completely reducibility of modules) was considered to be more important than C2-condition, but our research has shown that we don't need rationality. (3)We construct an infinitely many VOAs with Euclidian Jordan Algebras as Griess algebras for any complex central charge c. So we construct a candidate of Siegel modular invariance. (4)We found an order formula to determine the automorphism group of VOAs. In our construction, Miyamoto involution plays an essential role and so we can easily get information about the centralizer of Involution in the full automorphism group. The question is if we can determine the automorphism group from it.

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Grant amount：\4000000 （ Direct Cost: \4000000 ）

1. Pfaffian type operators and Radon transforms on affine Grassmann manifolds : Let G(d, n) be the affine Grassmann manifolds of all d-dimensional planes in R^n". Then the Radon transform R^p_q is defined as the transform from smooth functions on G(p,n) to smooth functions on G(q,n] arising from the inclusion incidence relation. Then our results are stated as follows. (1) In the case p < q. Let s and r be the rank of G(p, n) (resp. G(q, n) ). We assume that s < r. Then the range of R^p_q is characterized as the kernel of a single Pfaffian type invariant differenial operator of order 2s + 2. (2) In the case p < q. We assume that s 【less than or equal】 r. Then the inversion formula for R^p_q is given as DR^p_qR^p_q = I, where D is the reproducing operator consisting of Pfaffian type operators. (3) In the case p > q. We assume that s < r. Then the range of R^p_q is characterized as the kernel of an invariant system of differential equations of order s + 1, which consists of two different kinds of Pfaffians. This research was done in collaboration with F. Gonzalez.
2. Sobolev estimates for Radon transforms : Basically a Radon transform is an integration of a function over a submanifold. So it is expected that a Radon transform regularizes a function to some extent, and in fact, it was shown by Strichartz that the q-plane transform R^0_4 maps a function on L^2 to a funtion on H^<(9)/(2)> the Sobolev space of order 9/2. In this case, the gain of regularity is proportional to the demension of the fiber of the corresponding double fibration. However, in the case of R^p_q for general p and q, we discovered that R^p_q does not regularize a function so much in the sense that the gain of regularity is no longer proportional to the dimension of the fiber.

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Grant amount：\2200000 （ Direct Cost: \2200000 ）

頂点作用素代数の概念は現在、2次元共形場理論を代数化したものと理解されているが、通常の2次元共形場理論がモジュラー不変性を仮定するのに比べて、頂点作用素代数の公理にはこのようなモジュラー不変性が入ってはいない。しかしながら、ズーが証明したように、強いモジュラー不変性を示している。通常は一変数のトレイス関数がモジュラー不変性を示すのであるが、本研究は研究代表者の宮本が単純なトレイス関数だけではなく、変形頂点作用素代数の次数の空間における共形元の直和を使い、多変数のトレイス関数を定義したにも関わらず、大きな群に対する不変性をしめしたのが出発点である。平成12年度では、ムーンシャイン頂点作用素代数において、48組の共形元を使ってトレイス関数を定義することにより、48変数関数を定義し、この関数が非常に大きな群に対して不変性を持つことを示した。平成13年度では格子型頂点作用素代数内のジョルダン部分代数を使うことによってジーゲル型のモジュラー形式が構成できることを示した。これは格子型ではないムーンシャイン頂点作用素代数に対しても応用することが出来、これからの発展が期待できる結果である。この萌芽研究は頂点作用素代数が従来いわれていたように、リーマン面上の関数だからモジュラー不変性を持つという曖昧な考察を乗り越え、より深い構造を持っているということを結論付けたことで成功したと思える。

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Grant amount：\3500000 （ Direct Cost: \3500000 ）

The principal investigator has studied quantum matrices and Hopf algebras related to quantum groups and obtained the following results. 1.Results on finite Hopf algebras in braided categories including Hopf modules and integrals appear in J. Pure and Appl. Algebra. 2. New concepts of cylinder matrix and cylinder algebra are investigated as variation of quantum matrices and the results appear in J. Algebra. 3. New concept of biFrobenius algebra arises from a joint work with Doi and its basic properties and the braid version appear in Contemp. Math.. 4. Modular categories and Hopf algebras are studied from a new point of view and an elementary proof of Etingof and Gelaki's theorem on dimension of irreducible modules is obtained and appears in J. Algebra. 5. Survey on quantum matrices with emphasis on braid theory, quantized linear algebra, Homfly polynomial, Hecke algebra and q-Schur algebra, cocycle deformation appears in MSRI Publ.. 6. ESS-LYZ theory on matched pairs of groups is studied from a new point of view and some new results are obtained. 7. Radford-Majid bosonization is studied from a new point of view.

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Grant amount：\11100000 （ Direct Cost: \11100000 ）

The development of this year is a clarrification of weakly spherical homogeneous spaces obtained from dividing general linear groups by their irreducible algebraic inbgroups which we will call irreducible weakly spherical homogeneous spaces. The point is to clarify the relation between castling transforms and weakly sphericality. By doing this, we complete the clarrification corresponding to irreducible regular prehomogeneous spaces.

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Grant amount：\2300000 （ Direct Cost: \2300000 ）

Kac-Moodyリー環gの典型的な外部自己同型写像として、ディンキン図形のグラフとしての自己同型写像から誘導されるもの(diagram automorphism)ω∈Aut(g)がある。最高ウエイトΛ∈η^*がこのωで固定される(symmetric weightである)場合には、λを最高ウエイトとする既約最高ウエイトg-加群L(Λ)は、ωで(gの)作用をtwistして得られる加群と同型になる。従って、この時L(Λ)上にはintertwining作用素τ_ω∈End_C(L(Λ))が存在する。このintertwining作用素τ_ωの(ウエイトによる)次数付きトレースはtwining characterと呼ばれる。
今、Λがsymmetricな優正形式で、ωがωで固定されるWeyl群Wの元であるとする。この時L(Λ)の、ウエイトω(Λ)∈η^*のウエイトベクトルυ_<ω(Λ)>∈L(Λ)が生成するBorel部分環b上の部分加群L_ω(Λ)=U(b)υ_ω(Demazure加群)は、intertwining作用素τ_ω∈End_C(L(Λ))で不変であり、従ってそのtwining characterも定義される。私は、gが有限次元半単純リー環の場合に、このDemazure加群L_ω(Λ)のtwining characterを決定した。これは、gをリー環とする線型代数群GのBore1部分群Bがウエイト∧で作用する一次元加群C_Λに付随する、flag variety X:=G/B上のG-同変直線束L(Λ)を考え、Demazure加群L_ω(Λ)をSchubert variety X_ω:=BωB/B^^-⊂G/B上のL(Λ)の大域切断の成す空間H^0(X_<ω1>L(Λ))として実現する事により、代数幾何学的手法を用いて成された。
さらに私は、gが一般のKac-Moodyリー環の場合に、既約加群L(Λ)の基底の自然なパラメトリゼーションを与える事がLittelmannにより示されている、クラスΛのLakshmibai-Seshadri pathの全体B(Λ)へのdiagram automorphismω∈Aut(g)の作用を調べた。そして、ωで不変なB(Λ)の元の全体は、gのorbit Lie algebra gについてのクラスΛのLakshmibai-Seshadri pathの全体と自然に同一視出来る事を示した。

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Grant amount：\9700000 （ Direct Cost: \9700000 ）

A concept of vertex operator algebras (VOA shortly) has originated from the moonshine vertex operator algebra, which was constructed in order to explain a mysterious relation (the moonshine conjecture) between Monster simple finite group (the largest sporadic finite simple group) and the classical elliptic modular function. It is now understand to be a rigorous and mathematical concept of 2 dimensional conformal field theory in physics. Namely, it offers axioms on such a theory. Although 24 dimensional meromorphic conformal field theory have a special important value in physics, the examples we know at present are only Moonshine VOA, VOAs constructed from the Niemeier lattices and their orbifold VOAs. Recently, Dong and Mason found that all of them contain a tensor product of 48 Ising modules.
With the support of this Grant, M.Miyamoto (Head of this research) has been studying VOAs containing a tensor product of Ising modules, he found new VOAs called "code VOAs", which are easy to handle compared with the other VOAs in 1997. We also determined their representations (all modules) and introduced a concept of "induced modules." In 1998, we found a special property of Hamming code VOAs (constructed from an extended [8, 4, 4]-Hamming code) and determined its fusion rules among its irreducible modules. Using this special property, we found a new construction of the famous moonshine VOA and then a new construction of Monster simple group. It is very easier than the original construction and obtained a lot of properties of Monster simple group. In 2000, we applied the new method of construction to the known VOAs (lattice VOAs, etc.) and found that it is possible to construct all known 24 dimensional holomorphic VOAs by this way. We also succeed to construct twisted modules of code VOAs. For twisted modules, the existence was proved theoretically, but we don't know examples except very easy one. So we hope that this new construction have many applications, especially we expect to construct twisted modules for the moonshine VOAs, which are the essential parts of the moonshine conjectures.

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Grant amount：\3000000 （ Direct Cost: \3000000 ）

The final aim of this research is to establish a reasonable theoretical framework of the quantified version of the classical theory of the modular functions on the basis of the quantum group SUィイD2qィエD2(1,1) of the non-compact type and its quantum modular subgroup SLィイD2qィエD2(2,Z). The difficulty is that, even in the classical case, the modular group SL(2,Z) is Zarishi dense in SL(2,R) 【similar or equal】 SU(1,1) so that, for the purpose of describing the algebra of functions on SL(2,Z) in terms of the algebra of functions on SL(2,R) 【similar or equal】 SU(1,1), we are obliged to work in the framework of functional analysis. In view of these considerations, we started to have a trial of investigating the deformations of finite dimensional Hopf algebras and bialgebras using the language of algebraic geometry trying to study the possibilities of quantizing the finite groups which are regarded to be the typical examples of discrete groups. The author published a survey article on the above general considerations concerning the functional analytical aspects together with the perspective of quantum theory of automorphic functions. The author also published an announcement concerned with the algebraic geometrical studies of finite dimensional Hopf and bialgebras. Meanwhile, the author and Dr.Hajac published a paper discovering the new type of compact quantum group describing the quantum symmetry of the noncommatative2-torus DTィイD32(/)qィエD3 and its ambient compact quantum group Uq(2), qCィイD1x∋ィエD1 having two deformation parameters.

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Grant amount：\2100000 （ Direct Cost: \2100000 ）

位数最大の散在型有限単純群であるMonster群Mに関するmoonshine予想の研究において、Borcherdsはgeneralized Kac-Moody algebra(=GKM環)と呼ばれる無限次元リー環の新しいクラスを導入した。これは、1960年代の終わりにKacとMoodyにより有限次元単鈍リー環の拡張として導入されたKac-Moodyリー環を、さらに一般化したものであった。
私は先ず、GKM環g上の既約最高ウエイト表現L(λ)の指標公式を、その最高ウエイトλε〓が、必ずしも全てのreal coroot上で整数値ではないが、その値があるrealcoroot上で整数であるならそれは非負でなければならない、という条件を満たす時に、得た。これは、Kac-Moodyリー環の場合のKac-Wakimotoによる指標公式の拡張となっている。
又、全てのsimple coroot上で非負の有理数値を取るウエイトΛε〓をWeyl群Wのドットo作用で動かしたものωoΛを最高ウエイトとするg上の既約最高ウエイ卜表現L(woΛ)の指標を、Kazhdan-Lusztig多項式と呼ばれる多項式を用いて記述する指標公式を、Kac-Moodyリー環の場合の柏原-谷崎の結果を用いる事により、得た。
さらに、gが有限、又はaffine型のKac-Moodyリー環の場合に、Dynkin図形のdiagramautomorphismから“symmetric"ウエイトλε〓を最高ウエイトとする既約最高ウエイト表現L(λ)上に誘導されるintertwinerの、各ウエイト空間上のトレースの母関数であるtwining characterに関する公式を、λはもはや優正形式ではないが、(上記の)Kac-Wakimoto型の場合の条件に加えてさらにある良い性質を持つ場合に、得た。

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Grant amount：\1100000 （ Direct Cost: \1100000 ）

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)はR.E.Borcherdsにより近年導入された無限次元リー環の一クラスで、Kac-Moodyリー環の自然な一般化であるが、最近数理物理学との関連で様々な双曲型の格子をroot格子とする(Kac-Moodyリー環ではない)GKM algebraが注目されている。
GKM algebra g(A)の普遍包絡環U(g(A))の(結合代数としての)中心は、g(A)の表現論において重要な役割を果たすものである。g(A)が有限次元半単純リー環の場合には、この中心をg(A)のCartan部分環ηの双対空間η^*上のWeyl群不変な多項式関数環S(η)^Wとして実現するHarish-Chandra準同型の存在及びその性質は、良く調べられている。しかし、g(A)が無限次元の場合には、(Kac-Moodyリー環の場合であっても)このHarish-Chandra準同型についての研究は、V.G.Kac自身によるものの他は、あまり成されていない。
私は、g(A)がKac-Moodyリー環の場合のKacの結果に欠陥を発見し、それを修正して、さらにGKM algebraの場合にまで拡張した。これはGKM algebra g(A)の完備化された普遍包絡環の中心を、η^*の部分領域である(複素化された)Tits coneの内部K上の(ある関数方程式を満たす)正則関数の成す環として実現するというものである。
なお、上記の結果は、論文“On the Harish-Chandra homomorphism for generalized Kac-Moody algebras"としてまとめられ、近く投稿する予定である。

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Grant amount：\1000000 （ Direct Cost: \1000000 ）

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebre)は、R. Borcherds により数理物理学(特に弦理論、そして2次元共形場理論)との関連から導入された無限次元リー環のクラスであり、Kac-Moody リー環の自然な一般化でもある。
多くのGKM algebra g(A)の分母公式に現われる denominator function は、g(A) のCartan 部分環の部分集合として実現される Hermite 対称空間上の有理型関数とみなした時に、ある種の離散群の作用に関する保型性を持つ。この分母公式は、g(A)の Borel 部分環b^-の巾零根基をn^-とした時の、ホモロジー群H_p(n^-. C) (p【greater than or equal】o)の指標の交代和を取る事により得られるので、上記の保型性を研究する際には、このホモロジー群 H_p(n^-.C)の構造を調べる事により重要な手掛かりが得られると考えられる。
私は、b^-をより一般にg(A)の放物型部分環p^-にして、その巾零根基をu^-のホモロジー群H_p(u^-.C)をp^-を得、それを用いて個々の具体的なGKM algebreのroot multiplicities (特にそれらの間の関係式)を調べた。現地点では未だあまりよい結果は得られていないが、最近、物理学者らによりroot multiplicities の幾何学的意味付けが可能な GKM algebreの例も見出されつつあるので、今後この研究はさらに発展するものと期待される。
なお、現在までに得られた結果は、論文“Some topics on the representation theory of generalized Kac-Moody algebras" としてまとめられ、Seoul 国立大学校において開催された“リー環とその表現"についての国際シンポジウムの報告集(アメリカ数学会発刊)に掲載予定である。

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Grant amount：\900000 （ Direct Cost: \900000 ）

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)は、近年Borcherdsにより、位数最大の散在型有限単純群であるMonster群の無限次元表現moonshine moduleの研究の過程において導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化ともなっている。
今、g(A)を、対称なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、p^-をそのopposite parabolic subalgebra、そしてu^-はp^-のnilpotent radical、mはp^-のmaximal reductive subalgebraであるとする。このとき、自明な一次元加群Cに係数を持つu^-のホモロジー群Hp(u^-,C)(p【greater than or equal】0)の、m-加群としての既約分解を決定する事は非常に重要な問題であり、mがKac-Moodyリー環の場合には、既に解決されている。特に、p^-がopposite Borel subalgebra b^-であるときは、このホモロジー群の指標の交代和を取る事により、ある種の離散部分群に関する有理型保型形式が得られる事が分かっている。
ところが、mが必ずしもKac-Moodyリー環でない場合、即ち、一般のGKM環である場合には、カテゴリーOに属するGKM環上の加群が完全可約である為の良い十分条件が知られていなかった事もあって、あまり調べられていなかった。
私は、この完全可約性の為の(かなり一般的な)一つの十分を得、それを利用して、ある条件の下でホモロジー群Hp(u^-,C)がm-加群として完全可約である事を示し、そのm-既約成分への直和分解を決定した。
さらに、今後の計画としては、この結果をGKM環のroot multiplicity等の研究に応用する事を考えている。

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Grant amount：\1700000 （ Direct Cost: \1700000 ）

この研究の主要な目的はSchottky空間の境界様相を調べることとSohottky群のlimit set のHausdorff次元を求めることであった。特に、種数2の古典的Schottky空間のSchottky群を調べることであった。これらの目的に対して8種類の古典的Schottky群すべてについてそれぞれのタイプのヨルゲンセン数の最小値を求めることに成功した。その結果のみを「研究発表」で述べた雑誌に発表した。それらの証明付きの正式な論文は第1と第IVタイプについてはすでに1992年に発表しており、第II,VI,VIIについては、Jorgensen's inequality for classical Schottky groups of real type という題名で Journal of Mathematical Society of Japanに1994年に投稿した。また、残る第III,V,VIIIタイプについての証明付きの正式な論文は現在準備中である。次に、8種類の古典的Schottky 空間に関してもそれらの形状、基本領域およびmodular群について、既に第1,IVタイプについては1988年に、第II,V,VIIタイプについては1991年に発表しており、残りの第III,VI,VIIIタイプについてはClassical Sohottky groups of real type of genus two,IIIという題名で既に完成している。近々に投稿を予定している。
分担者による基礎論、関数解析学、Kac-Moody algebra、Teichmuller spaceなどの研究も所期の目的を達している(「研究発表」参照)。

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Grant amount：\900000 （ Direct Cost: \900000 ）

generalized Kac-Moody algebra(=GKM algebra)はCambridge大学のR.Borcherdsにより近年、数理物理学との関連から導入された概念であり、Kac-Moodyリー環の自然な一般化となっている。
今、g (ALPHA)を、対称化可能なGGCMと呼ばれる行列Aに付随するGKM algebra、etaをそのCartan部分環、W⊂GL(eta*)を対応するWeyl群とする。私は、優整形式LAMBDA∈eta*とomega∈Wに対して、omega(LAMBDA+rho)-rhoを最高ウエイトとするg(A)上の既約最高ウエイト表現L(omega(LAMBDA+rho)-rho)の指標を、Kazhdan-Lusztig多項式と呼ばれる、Hecke環の基底の変換の際に現れるある整数係数の多項式を用いて記述する事に(行列Aについての弱い条件の下で)成功した。(ここでrho∈eta*は、g(A)が有限次元半単純リー環の場合には全ての正ルートの和の1/2倍にあたるものである。)
これは、g(A)が有限次元半単純リー環の場合にD.KazhdanとG.Lustigにより、そして対称化可能なKac-Moodyリー環の場合にはV.Deodhar,O.Gabber,V.Kacにより提出され、どちらの場合も京都大学数理解析研究所の柏原正樹教授等により解決された結果(Kazhdan-Lusztig予想)の一般化とみなせる。
上記の私の結果は、2つの論文"Kazhdan-Lusztig multiplicity formula for general-ized Kac-Moody algebras,I:Towards the conjecture"、"Kazhdan-Lusztig multi-plicity formula for generalized Kac-Moody algebras,II:Proof of the conjecture"としてまとめられ、共に現在投稿中である。さらにこれらの論文の要約が、論文"Kazhdan-Lusztig-type multiplicity formula for symmetrizable generalized Kac-Moody algebras"として投稿中である。

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