国名：日本国

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国名：日本国

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国名：日本国

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国名：日本国

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配分額：17550000円 （ 直接経費：13500000円 、 間接経費：4050000円 ）

本研究目的を達成するために、研究代表者と研究分担者はその分担領域に応じて、最大値原理を用いて平均曲率フローの特異点を分類する解析的研究手法などで 平均曲率型フローに現れる特異点の幾何構造の解明に関する研究を行った。研究代表者と宮岡教授等は令和元年年９月1日から7日まで立命館大学にて第5回日中幾何学研究集会を主催した。さらに研究代表者と研究分担者等は令和元年年11月1日から4日まで福岡大学微分幾何学研究集会を主催し、微分幾何に関する研究打ち合わせ及び情報収集を行った。 平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造を解明するため、 研究代表者は南開大学のZhang Weiping教授と四川大学のLi Anmin教授等を招聘し、立命館大学にて研究打ち合わせ及び情報収集を実施した。
1. 研究代表者と研究協力者華南師範大学のWei Guoxin教授と共同で重み付き体積保存平均曲率フローの完備λ-超曲面を研究し、第２基本形式の長さが一定となる完備λ-曲面を完全に分類した。さらに、 完備λ-超曲面が面積の増大度を持つ必要十分条件は完備λ-超曲面がproperであることを証明した。
2. 研究協力者Wei Guoxin教授と共同で はめこみコンパクトセルフーシュリンカー及び埋め込みコンパクトλ-超曲面を構成した。
3. 研究分担者山田はローレンツ多様体 M の零平均曲率超曲面の光的点 P が 退化であるとき、超曲面上の退化点集合は P を通る M の光的測地線分を含むことを示し、その応用としてベルンシュタイン型定理の一般化を与えた
4. 研究分担者塩谷は次元が無限大へ発散するような楕円の列が与えられたとき、ある部分列がガウス空間へ集中位相に関して収束することを証明した。
5.研究分担者納谷は球面内の高種数の極小閉曲面を構成する問題について研究を行った。

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配分額：32890000円 （ 直接経費：25300000円 、 間接経費：7590000円 ）

波面に現れる特異点が誘導する半正定値な計量としてKossowski計量が定義される．研究代表者は，研究分担者らとの共同研究で，計量が連接接束を誘導することを示し，その帰結としてKossowski計量をもつコンパクト多様体上のある種のガウス・ボンネ型の定理を得た．関連する研究として，空間曲線を与えたとき，その曲線をカスプ辺にもち，同じ第一基本形式をもつ実解析的写像が，一般に4個存在することを示した．部分多様体への応用としては，小林曲面と呼ばれる極大曲面のクラスを発見し，その曲面族は折り目特異点を経由して，時間的曲面への実解析的延長をもち，平面上の零平均曲率のグラフとして表されることを示した．

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配分額：4680000円 （ 直接経費：3600000円 、 間接経費：1080000円 ）

３次元ローレンツ・ミンコフスキー空間の折り目特異点をもつ極大面のクラスとして「小林曲面」を定義し，これが固有にはめこまれた零平均曲率曲面で因果特性を変化させるもの・空間的平面全体で定義された関数のグラフとなっているものを数多く含むことを示した．これとは別に，光的直線を含み，この直線をはさんで因果特性を変化させる零平均曲率曲面の例をはじめて構成した．一方，このような直線が現れることを示す直線定理を零平均曲率曲面を真に含む曲面のクラスまで拡張した．
一般に３次元ローレンツ多様体の正則曲面上の因果特性が変化するための条件を調べ，零でない一定の平均曲率をもつ曲面は因果特性を変化させないことを示した．

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配分額：12350000円 （ 直接経費：9500000円 、 間接経費：2850000円 ）

本研究では独創的な研究方法でCheng-Yangの漸化式を利用して, 完備リーマン多様体内の有界領域におけるラプラス作用素の固有値に関する最適な下限を得た. これにより, Chavelの固有値の下限に関する難問を解決した. さらに, ユークリッド空間への極小的等長はめ込みの障害をラプラス作用素の固有値により発見した.特異点を許すフロントの幾何学に関する研究を行い,フロントに関するGauss-Bonnet定理を研究した. 最大値原理を拡張し,平均曲率フローの完備セルフ-シュリンカーの分類研究で研究成果を上げた. Alexandrov空間上のラプラス作用素の固有値に関する研究を推進した.

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配分額：13780000円 （ 直接経費：10600000円 、 間接経費：3180000円 ）

主曲率の個数6,重複度2の等径超曲面の等質性を示し，長年の問題を解決した．主曲率の個数4についてスピン作用のモーメント写像による記述を与えた．トランスノーマル系の研究を深めた．
リッチ曲率正のケーラー多様体の非コンパクト完備安定極小ラグランジュ部分多様体上には非自明なL2調和1形式は存在しないことを示し，非放物型エンドは高々１つであり，曲面なら種数が０であることがわかった．
等径超曲面のガウス像のハミルトン変形との交叉に関わるフレアホモロジー論の研究において，主曲率の重複度が２以上の場合にはどんなハミルトン変形によっても，交叉が外せないことを示した（入江博，Hui Ma,大仁田義裕との共同研究）．

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配分額：30940000円 （ 直接経費：23800000円 、 間接経費：7140000円 ）

筆者らが考え出した連接接束の概念の応用として，特異点をもつ３次元Eucli 空間に，合計４個のガウス・ボンネ型の公式を見いだし，多くの応用を与えた．また折り目特異点をもつ空間的極大曲面が，時間的な曲面への自然な解析的拡張をもつ，という事実に着目し，３重周期的なシュワルツＤ型の極大曲面について，実際にその解析的延長が埋め込みになることを示した．また，平均曲率関数が符号変化をしないはめ込まれた曲面のクラスにおいて３次元球面の中におけるクリフォード・トーラスの剛性を示した．このほか平面曲線の特異点についても変曲点に関する Bol の予想の簡単な証明を与えるなど，いくつかの新しい結果を得た．

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配分額：4160000円 （ 直接経費：3200000円 、 間接経費：960000円 ）

定曲率空間の微分幾何学的に良い性質をもつ特異点付き曲面について研究した．（非ユークリッド的な定曲率空間では，我々の‘常識’を超えた興味深い現象が数々起こる．）双曲型空間の線型ワインガルテン曲面について，大域的表現公式，特異点の判定条件，および（余）向き付け可能性に関する結果を得た．また，ドゥ・ジッター空間内のCMC-1 面およびローレンツ・ミンコフスキー空間内の極大面についても（余）向き付け可能性に関する結果を得た．ドゥ・ジッター空間内のエンドが二つのCMC-1 面の分類や，双曲型空間内のエンドが３つのCMC-1 曲面の研究成果を得た．

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配分額：3110000円 （ 直接経費：2600000円 、 間接経費：510000円 ）

平均曲率一定曲面または非等方的平均曲率一定曲面に対するいくつかの固定境界または自由境界問題に対し、解または安定解の存在・一意性・幾何学的性質、体積または(非等方的)平均曲率を変化させたときの解の対称性の変化、位相的性質の変化、分岐の状況、個々の解の安定性を決定した。さらに、一般の固定境界または自由境界問題に対する分岐理論を構築した。また、非等方的表面エネルギーに対する凸性の仮定をはずすことにより、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の平均曲率一定超曲面を含む広いクラスの超曲面を非等方的平均曲率一定超曲面として統一的に扱い、新しい一意性定理や例を構成した

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配分額：15340000円 （ 直接経費：11800000円 、 間接経費：3540000円 ）

特異点を許す曲面のさまざまなクラスである，３次元双曲空間の平坦フロント，３次元ミンコフスキー空間の極大曲面，３次元ド・ジッター空間の定平均曲率１の曲面，３次元アファイン空間の非固有アファイン球面などをワイエルストラス公式を用いて考察し，大域的な結果（完備性の特徴づけ，オサーマン不等式など）を得るとともに，あるクラスの曲面を分類した．
また，特異点をもつ曲面・超曲面の微分幾何学の土台となるべき「特異曲率」の概念を定義し，それとガウス曲率の挙動との関係を調べるとともに，ガウス・ボンネ型の定理を得た．さらにフロントの内的定式化として「連接接束」の概念を導入し，その双対性と応用を考察した．

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配分額：27560000円 （ 直接経費：21200000円 、 間接経費：6360000円 ）

等径超曲面の分類問題の大部分を解決し,運動量写像で表現することにより,可積分系理論との関連性を根拠づけた.特異点をもつ曲面の基礎理論を進展させ,種々の局所・大域理論を明らかにし,ルジャンドル写像を用いた新しい視点を開発した.リーマン・ヒルベルト対応を介してパンルヴェ方程式の力学系を研究し,カオス性の観点を開拓した.高種数Gromov-Witten理論のモジュラー性,ミラー対称性を論じ,また量子コホモロジーから得られる正則微分をポテンシャルにもつ曲面の構成を通じて,tt*幾何に貢献した.

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配分額：23270000円 （ 直接経費：17900000円 、 間接経費：5370000円 ）

特異点をもつ曲線と曲面の幾何学について,研究を行い,以下のような成果をおさめた.曲面あるいは超曲面にもっとも頻繁に現れるA型の特異点の判定法を与え,これを変曲点の研究に応用した.またこの特異点の判定条件に立脚し,曲面から多様体の概念が生まれたように,外の空間を払拭して,内的に波面を記述する概念として連接接束の概念を樹立し,多くの応用を与えた.一方,この研究に関連し,3次元時空の極大曲面,3次元ド・ジッター空間の平均曲率1の曲面について,特異点を許すが,ある種の完備性をもつ興味深い曲面の例を数多く構成した.また研究分担者と協力し,国内外で関連する研究者等との研究交流を図る研究集会をいくつか開催した

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配分額：4080000円 （ 直接経費：3300000円 、 間接経費：780000円 ）

古典的微分幾何を可積分系理論・特異点論などの現代的手法を用いて研究することにより、古典的微分幾何の諸分野とその応用に関して、特に曲線の運動を用いた可積分系の幾何的研究、4次元空間形内の共形平坦超曲面の具体的構成と分類、複素空間形内の実超曲面、3次元空間内の曲面論、アフィン微分幾何とそのヘッセ幾何・情報幾何への応用等に関して多くの新たな知見を得、また今後の研究の進展の基礎を築いた。

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配分額：8740000円 （ 直接経費：7300000円 、 間接経費：1440000円 ）

自然な仮定のもとで特異点をもつ曲面のクラスの性質を,ワイエルストラス型表現公式を用いてしらべた.とくに,3次元双曲空間の平坦フロントの大域的な挙動,3次元ミンコフスキー空間の極大曲面および3次元ド・ジッター曲面の平均曲率1の曲面の特異点の挙動を解析した.また,特異点の微分幾何学として,とくにフロント(波面)の特異点に特異曲率を定義し,ガウス・ボンネ型の定理を得るとともに,フロントの内的な定式化を行った.

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配分額：6490000円 （ 直接経費：5800000円 、 間接経費：690000円 ）

2005年度はモジュライ空間のコンパクト化に焦点をあて、特異点集合として現れる部分多様体に注目した。高次元ASD方程式の線形化であるツイスター切断の零点集合として得られる部分多様体がそれである。さらに、ツイスター切断を使用した実グラスマン多様体への埋め込みを構成し、この埋め込みが極小埋め込みであることを示した。また、四元数ケーラー多様体上のASDベクトル束に対する消滅定理も得られた。
2006年度は本研究課題にとって本質的な進展といえる調和写像とYang-Mills接続とを関連付けることに成功した。リーマン多様体からグラスマン多様体への写像が調和写像となるための条件を得た。さらに、この定理を利用して、等質空間からグラスマン多様体へのエネルギー密度関数が定数関数となる調和写像の分類が得られた。また、実グラスマン多様体上において、ある位相的条件をみたすベクトル束が許容するASD接続がゲージ変換を除いて一意的であることを示すことができた。
2007年度はさらに上の写像が全測地的部分多様体となる場合を考察し、、既約型の全測地的写像に関しての分類定理を得た。この定理において、ある積分公式を確立したが、その値は終集合であるグラスマン多様体の次元を決定するものである。特に複素射影直線に関しては非分解型の全測地的写像が既約型であることを上述した定理と球関数の理論のベクトル束版を構築することにより示すことができたので、複素射影直線の場合には全測地的部分多様体が決定できたことになる。また、「ツイスター切断の幾何学」の類似をコンパクト対称空間上でも展開し、ほとんどのコンパクト型の既約対称空間において、全測地的部分多様体の組を発見した。この組はベクトル束の切断と深く関係し、これらを用いてある関数を構成し、グラスマン多様体上ではこの関数が等径関数となっていることを示した。さらに、この関数が部分多様体の族を与えるが、このうち唯一つの部分多様体が極小部分多様体であることを示すことにも成功した。

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配分額：34970000円 （ 直接経費：26900000円 、 間接経費：8070000円 ）

宮岡は等径超曲面のDorfmeister-Neherの分類定理の別証明を与え,超曲面論の応用としては複素射影平面の反自己双対束や完備Austere部分多様体の位相の解明,リッチ平坦計量,special Lagrangian部分多様体の構成を行い,またG_2軌道の幾何からtwister fibrationを得た.岩崎はパンルヴェ第VI方程式の代数幾何学的定式化と代数曲面上の双有理写像のエルゴード理論をリーマン・ヒルベルト対応により結びつけ,非線形モノドロミーのカオス性を示した.梶原は,パンルヴェ系の理論的定式化を応用して,q-パンルヴェ系の超幾何解とそのdeterminant formulaを構成し,補助線形問題の解と関連づけた,中屋敷はシグマ関数のべき級数展開の係数を、代数曲線の定義方程式の係数で特徴づけた。長友は,調和写像とYang-Mills接続とを関連付ける本質的な結果を得て,高橋の定理,de Carmo-Wallachの定理の一般化,四元数ケーラー多様体からグラスマン多様体への調和写像の構成などの結果を得た.山田,梅原,ラスマンは,3次元双曲空間の(弱)完備平坦フロントのエンドの挙動を分類した.藤岡は曲率の時間発展がBurgers方程式に従い離散化を伴う複素双曲線内の曲線の運動の可積分性、周期性を調べた。石川は非固有アフィン曲面やガウス曲率一定曲面の特異点と,双対曲面の特異点の組を分類し,また平面曲線とそのルジャンドル曲線の特異点のモジュライの関係を解明した.宇田川は実空間形内の平均曲率ベクトル平行なコンパクト等方的部分多様体を断面曲率で分類した.田丸は非コンパクト型対称空間内の等質超曲面に対応する非等方性1作用に関して,固定点定理を得た.松浦は差分KdV方程式に従う平面折線の離散時間発展を主に周期性の観点から調べた。池田はWhittaker加群の特性多様体とフルコスタントー戸田格子の等エネルギー面の幾何学との関連を超局所解析の視点から考察した。Guestは調和写像論,量子コホモロジー論,ミラー対称性の研究を行い,ホモロジー幾何紹介論文を著わした.二木はある種のトーリック佐々木多様体には佐々木・アインシュタイン計量が存在することを証明し,toric Fano多様体の標準直線束には完備Ricci平坦計量が入ることを証明した.

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配分額：10400000円 （ 直接経費：10400000円 ）

定曲率空間における曲面および曲線の大域的性質に関する研究について,以下のような研究成果を得た.
1.3次元時空の空間的な曲面は,平均曲率が零になるとき極大曲面とよばれる.このような曲面のうち,3次元複素数空間への正則かつ等方的なはめ込みの実部で表されるものを極大面と名付けた.代表者は,分担者の山田と共同研究を行い,極大面で特異点がコンパクトで,それを除いた部分で完備なリーマン計量を有するものに関してWeierstrass型の表現公式を与え,さらにその応用として,Osserman型の不等式を示し,その等号条件が,曲面のすべてのエンドが正則で自己交叉を持たないことと同値であることを示した.さらに上記の研究の発展として,代表者は,佐治氏,藤森氏および分担者の山田との共同研究として,カスプ状交叉帽子とよばれる特異点の判定法を与え,その応用として3次元時空の極大曲面と3次元ドジッター空間の平均曲率1の曲面に一般的に現れる特異点は,cupspidal edge,ツバメの尾,カスプ状交叉帽子の3種類に限ることを示した.
2.代表者は,佐治氏および山田(研究分担者)と共に,波面に現れる特異点として一般的なcuspidal edgeとswallowtailの近傍におけるガウス曲率の挙動について研究を行った.特にcuspidal edge上に特異曲率と呼ばれる新しい微分幾何的な特異点上の不変量を定義し,閉曲面の場合には,その積分の2倍と全ガウス曲率との和が,曲面のオイラー数に一致することを示した.さらにswallowtailの近傍では,特異曲率が負の無限大に発散することを示したほか,ガウス曲率が正のとき,特異曲率は正になり得ないことを示した.
3.実射影平面における単純閉曲線の位相型は,1点にホモトピックなものとそうでないものの2種類がある.その中で変曲点を持たない単純閉曲線は卵形線とよばれ,1点にホモトピックなものの典型例を与える.一方,1点にホモトピックでないものの代表例として反凸閉曲線とよばれる閉曲線のクラスがあり「曲線上の任意の点において,その点を通り,その他の点では曲線と交わらない直線が存在する」という性質をもつ.代表者は,ケルン大学のThorbegsson氏との共同研究によって,反凸閉曲線の変曲点と独立な2重接線の数との間に,ある一定の等式が成り立つことを示した.

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配分額：10800000円 （ 直接経費：10800000円 ）

この研究により得られた結果は以下の通り。
(1)U.Hertrich-Jeromin氏とS.Santos氏とF.BurStall氏の協力を得て、可積分系の考え方を利用して、3一次元spaceform(ユークリッド空間R3と双曲空間E3と球面空間53)内の離散的な平均曲率一定曲面の定義を得た。ユークリッド空間の場合に知られている定義と一致することを証明した。双曲空間の場合、この定義はこれまで知られていなかった。この定義を使って、spaceform内の離散的なDelaunay曲面を調べた。また、そのDelaunay曲面のDarboux変換とBack1und変換を調べた。この研究の本質的な道具の一つは保存量(conserved quantity)の理論である。S.Santos氏とF.Burstall氏は滑らかな曲面の場合に理論を開発したが、U.Hertrich-Jeromin氏と私は離散的の場合に開発した。
(2)私の博士大学院生のN.Sultana氏と一緒に、3-次元球面空間内の平均曲率一定回転面の安定性と指数を調べた。この場合、回転の軸はループになるので、回転面が閉じる可能性がある。閉じる条件も調べた。そのとき、閉曲面(トーラス)の安定性も指数も調べることができる。曲面はいつも不安定であることと、指数はいつも少なくとも5になることを証明した。また、数値計算的な方法で、指数を計算した。(指数は曲面のJacobi作用素のゼロより小さい固有値の数である。)閉じている平均曲率一定回転面のとり方によって、指数はいくらでも大きくなることがわかった。
(3)三年前から、梅原雅顕氏、山田光太郎氏、國分雅敏氏の協力を得て、双曲空間内の特異点を持つガウス曲率一定0曲面(平坦曲面)について研究した。また今年度、その三人の協力を得て、そのようなフラットフロントという曲面のcaustic、及びcausticのエンドの性質を調べた。その結果、そのエンドは漸近的にサイコロイドの形になる場合もあることを証明した。
以上の結果は掲載予定及び準備中の論文によって公表する予定である。

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

本研究では、古典的微分幾何の諸理論を現代的な手法、特に可積分系理論や特異点理論の手法を用いて基礎から書き直すことで新たな展開をはかった。本研究の成果は多岐にわたっているが、以下にそのうちの主なもののみをあげる。
1.(1)古典的微分幾何の中核理論の一つであるアフィン微分幾何において、アフィン超球面を中心に研究し、表現公式、スペシャル・ケーラー多様体の一般化である正則統計多様体との関係、その中心写像の性質を明らかにした。また、アフィン平面曲線および中心アフィン平面曲線を離散化し、差分ソリトン方程式に従うような時間発展を与えた。(2)4次元ユークリッド空間の共形平坦超曲面の古典例を特徴づけ、新しい例を構成した。(3)複素空間形内の実超曲面に新たな幾何的不変量を導入し、それを用いてホップ実超曲面の分類などを行った。
2.特異点をもつ曲面の微分幾何的な性質について考察し、(1)3次元双曲型空間のある種の特異点をもつ平坦な曲面(平坦フロント)のクラスを定義しその理論を構築した。特に、(弱)完備性の概念を定義することにより、平坦フロントの大域的な性質を明らかにした。(2)3次元ミンコフスキー空間の極大曲面の特異点の性質を調べ、特異点の一種であるcuspidal cross capの判定条件を与えた。さらに、3次元ミンコフスキー空間のある種の特異点を許す空間的極大曲面(極大面)のクラスを定義し、その大域的な性質を明らかにした。
3.曲面の変換について調べ、特にメビウス幾何における球叢を用いた変換は複素化された線叢で得られることを示した。また、3次元等質空間内の重調和曲線・曲面を考察し、特に3次元既約標準簡約等質空間内の重調和曲線を決定した。

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配分額：9200000円 （ 直接経費：9200000円 ）

(1)双曲型空間の平坦な曲面に対して知られているワイエルストラス型表現公式を,積分(微分方程式の解)を用いない形のダルブー型の公式に書き換え,応用としてエンドの数が小さい完備平坦曲面の分類を行った.(2)双曲型空間の平均曲率1をもつ曲面に対するワイエルストラスがた表現公式の類似が成り立つようなambient spaceと曲面のクラスを指摘した.(3)一般にfront, frontalとよばれる,特異点をもつ曲面のクラスにgenericに現れる特異点(cuspidal edges, swallowtails, cuspidal cross caps)を判定する条件を見出した.(4)双曲型空間内の特異点をもつ平坦曲面(平坦フロント)の概念を整備し,ワイエルストラス型表現公式を用いて,特異点の性質を調べた.(5)3次元ミンコフスキー空間の特異点をもつ極大曲面のよいクラス(極大面)を定義し,その大域的な性質,特異点の性質を調べた.

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配分額：3900000円 （ 直接経費：3900000円 ）

本研究においては、モジュライ空間の性質を解明するために以下の研究を行った。
以前の研究において、コンパクトリー群の表現論を用いることにより、4次元幾何学における成果を別の角度から見直し、高次元のコンパクトリー群に付随した四元数対称空間に対して、「ASD接続の族」を構成することに成功していたが、次元簡約の方法を用いることにより、これらの間に次元を超えた関係のあることがわかった。この方法はASD接続を許容するベクトル束の新しい発見法を示唆するものとして期待される。また、上記「ASD接続の族」が完備であるかどうかはそのコンパクト化を考察する上でも重要な謎であったが、これに対してもツイスター方程式を満たす切断「ツイスター切断」の理論を構築することにより、さまざまな場合に肯定的な解答を得ることに成功した。これはツイスター切断がツイスター空間上では正則切断に対応し、その結果、ホモロジー代数的手法を適用することが可能となったことによる。また、ツイスター切断の理論を四元数対称空間上の等質ベクトル束において展開することにより、「単連結コンパクトリー群の実表現の内で、主固定部分群が非自明であり、かつそれが可換群でも離散群でもない表現と横断的ツイスター切断の零点集合として得られるコンパクト四元数対称空間内の四元数部分多様体の同型類との間に一対一対応が存在する」という結果を得ることにも成功した。さらにツイスター切断の理論を用いることにより、モジュライ空間のコンパクト化において重要な役割を果たすと予想される特異集合をもつ特異ASD接続とこの接続を許容するベクトル束との間に関連のあることも示すことができた。すなわち、「特異ASD接続の特異集合が代表するホモロジー類のポアンカレ双対がベクトル束の特性類である」という事実を多くの場合において示すことに成功した。また、上記においてホモロジー代数的手法に言及したが、高次元においては考察すべき層コホモロジーが飛躍的に増大し、しばしば扱いきれないことがあるが、以前得られていた層コホモロジーに対する消滅定理を再考し、その一般化にも成功した。この一般化された「消滅定理」はこの方面では最終形のものである。この一般化された消滅定理とツイスター切断の理論を組み合わせて用いることにより、さらなるASD接続のモジュライ空間の構成にも成功した。これら高次元インスタントンモジュライ空間の具体例の組織的な構成は現在までのところ本研究のみであると思われる。

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配分額：2800000円 （ 直接経費：2800000円 ）

数年来取り組んでいた,重複度2の主曲率を6つもつ等径超曲面の等質性を証明した.
あわせて重複度1の場合のDorfmeister-Neherの定理の別証を統一的に得た.
結果として得られる等質超曲面を考察することにより次のことも判明した.
重複度1の場合に得ていた結果と同様,重複度2の場合にも主曲率が6つの超曲面は主曲率が3つの超曲面上の全測地的球面をファイバーとするファイバー空間になっていることが分かった.ただしファイバー球面の次元は前者の2倍の6次元となる.これは以前に石川-木村と共に行ったガウス写像が退化する部分多様体の研究結果の拡張になっている.また,等径超曲面が外の球面を埋め尽くすことを用いると,13次元球面と7次元球面の間のある関係を導く.さらにこの超曲面が例外群G_2軌道として現れることを用いると,ホロノミー群がG_2の完備計量をもつ開多様体の例としてS^7-CP^2が得られることがわかる.これより,Calabi予想の実,開多様体版ともいえる,リッチ正のコンパクトリーマン多様体からどのような部分を除けば,ホロノミー群がG_2の完備計量が入るかという問題に発展する.このようにG_2軌道として得られるこの超曲面の挙動は非常に重要で興味深い.

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配分額：9600000円 （ 直接経費：9600000円 ）

平成13年度から16年度までの本研究により解明された主な事柄は以下の通りである。
1)断面曲率が一様に下に有界で直径が一様に上に有界な4次元リーマン多様体の崩壊の解明に関する論文執筆を終了した。また、3次元、4次元の完備非負曲率の非コンパクトな特異空間の幾何学を確立した(代表者)。
2)断面曲率が一様に下に有界で体積が小さい3次元リーマン多様体がグラフ多様体であることを証明した(代表者と塩谷隆)。
3)絶対全曲率が一様に上に有界であるような曲面のグロモフ・ハウスドルフ収束を決定し,極限の真珠空間の特異性評価,ホモトピー型の決定、真珠の個数評価などの精密な幾何学を展開した(代表者と堀敦彦氏).
4)曲率が上に有界な2次元の特異曲面の特異点のまわりの局所的な幾何構造を決定し、何枚かのリプシッツ円盤の張り合わせになることを示した(代表者、塩谷隆と永野幸一氏,現在論文準備中)。
5)距離空間がリッチ曲率が下に有界であることの概念を定義し,そのような空間から一般の距離空間への写像のエネルギーを導入した.ポアンカレの不等式が成り立つことを証明し,それを用いてレーリッヒ型のコンパクト性定理を証明した(塩谷隆と桑江一洋氏の共同研究).
6)リーマン多様体やアレクサンドロフ空間をネットと呼ばれるグラフにより離散近似して、ネットのラプラシアンの空間のラプラシアンへの収束性を証明した(大津幸男).また、ネットでの近似を用いて多様体上の熱作用素の漸近挙動の研究を行い、ベキ零被覆多様体上の熱作用素に関する中心極限定理型の定理を得た(石渡聡)

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配分額：4000000円 （ 直接経費：4000000円 ）

「3次元双曲型空間の平均曲率1の曲面の研究とその応用」に関して以下のような成果を得た.
1.研究代表者梅原雅顕は,山田氏(研究分担者)と國分氏(研究分担者)との共同研究で,一般のnについて,n次元Euclid空間の極小曲面に関するChern-Ossermanの不等式の等号を満たす場合は,曲面のすべてのエンドが自己交叉せずにカテノイドか平面に漸近するとき,そのときに限ることを示した.さらに等号条件を満たす新しい極小曲面の構成を行った.
2.研究代表者梅原雅顕は,山田氏(研究分担者)とRossman氏(研究分担者)との共同研究で,3次元双曲型空間の平均曲率1の曲面の中で完備かつ有限全曲率を有し,すべてのエンドがirregularでかつ,第二ガウス写像のモノドロミー表現が既約なもつ例を無限個構成した.
3.研究代表者梅原雅顕は,山田氏(研究分担者)と國分氏(研究分担者)との共同研究で,3次元双曲型空間の平均曲率1の曲面のSmallの表現公式の部分積分のみを用いた初等的証明を与えたほか,同じ型の公式が3次元双曲型空間の平坦な曲面についても示した.さらに,上記の平坦な曲面として,3次元双曲型空間の単位余接束へのLegendreはめ込みの射影として得られるもの(平坦波面とよぶ)の研究を行った.平坦波面で完備のものを考えると,双曲的ガウス写像の写像度に関するOsserman型の不等式が得られることを示し,等号条件はすべてのエンドが自己交叉をもたないことであることを示した.さらに等号を満たす種数0で3個以下のエンドを持つものをすべて分類した.また種数が1で5つのエンドをもつ等号を満たす平坦波面の例も構成した.
これらの研究を推進する過程で国内外の関連の研究者と必要に応じて研究連絡や討論を行った.

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配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）

(i)「与えられた平均曲率を持つ周期的有限型回転面」
(ii)「与えられたガウス曲率を持つ有限型回転面の決定」
(iii)「一定平均曲率を持つ有限型曲面の決定」
(iv)「有限型Willmore曲面の決定」
(v-1)「D'Atri計量を持つ空間内の有限型部分多様体」
(v-2)「D'Atri計量を持つ空間内の二重調和部分多様体」
引き続き次の未解決問題の研究を進める:
1.3次元ユークリッド空間内の有限型曲面の決定問題(3次元ユークリッド空間内には極小曲面,球面,直円柱面の3例以外に有限型の曲面は存在しないという予想問題)
2.ユークリッド空間内の二重調和部分多様体の決定問題(次元が4以上のユークリッド空間内では調和なもの以外に二重調和部分様体は存在しない)
3.4次元ミンコフスキー空間内の二重調和部分多様体の完全分類.

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配分額：1900000円 （ 直接経費：1900000円 ）

本研究では、研究の主対象たる古典的微分幾何・研究手法としての可積分系の理論・応用対象としての情報幾何のそれぞれについて組織的に研究を進め、以下のような成果を得た。
1.古典的微分幾何 (1)極小アフィン超曲面と余次元2の極小中心アフィンはめ込みの内的な特徴づけを与えた。さらに、余次元2の自己双対極小中心アフィン曲面の具体的な構成法を与えた。
(2)射影平坦かつ捩れを持たないアフィン接続が与えられた多様体に対し、そのリッチ曲率が対称かつ定値になるときの射影展開写像の単射性と像の凸性について基本的な結果を与えた。
(3)4次元球面内の共形平坦な超曲面に対し、新しい共形不変量を定義して古典例を特徴づけ、さらにこれまで知られていなかった新しい例を構成した。
(4)3次元等質空間の曲線と曲面に対する非常に具体的かつ包括的な理論を展開した。
2.可積分系の理論 古典的微分幾何に現れるさまざまな可積分系を調べ、3次元可解リー群の極小曲面や3次元双曲型空間の平坦な曲面など、3次元空間内の特徴的な曲面に対する表現公式を与えた。平均曲率の逆数が調和関数になる3次元のリーマン空間形およびローレンツ空間形における(空間的)曲面の総合的な理論を展開した。
3.情報幾何と統計多様体 (1)複素統計多様体を定義し、アフィン微分幾何や情報幾何(特に量子推定理論)とのかかわりについて研究した。
(2)スペシャル・ケーラー多様体の拡張として、ある適合条件を満たす複素構造を持つ統計多様体を定義し、その基本的な性質を調べた。
(3)(-1)-共形平坦な統計多様体において、計算幾何において重要な応用を持つボロノイ図の具体的な構成法を与えた。

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配分額：3200000円 （ 直接経費：3200000円 ）

この研究により得られた結果は以下の通り。
1.離散的な極小曲面と平均曲率定曲面をvariationalなアプローチでPolthier氏と共同研究した。variationalなアプローチによって離散的なcatenoidとhelicoidとデロネー回転面といわれる曲面の例を作った。Catenoidの場合には表示が得られた。離散的な極小曲面の指数も計算した。その計算は連続的な極小曲面の指数の評価に有用だった。
2.R^3内のコンパクトな平均曲率定トラスのMorse指数の評価をした。その曲面はWente toriとよく呼ばれている。私はWente toriのMorse指数はいつも6より大きいことを証明した。さらにLima氏、Sousa Neto氏と共同で7より大きいことを証明した。
3.数理物理に現われる解析のテクニックを使って、コンパクトではない平均曲率一定曲面のMorse指数の評価をした。Dirichlet boundary conditionによりその曲面のコンパクトな部分が大きくなるとMorse指数も大きくなるが、Lima氏、Berard氏と共同でコンパクト部分が増大するときのMorse指数のgrowth rateを計算した。
4.Thayer氏とWohlgemuth氏と共同でR^3内のdoubly-periodicな極小曲面の例を調べた。
5.山田光太郎氏と梅原雅彰氏と共同で3次元双曲空間内の全曲率が上に有界な平均曲率一定1曲面を分類した。
6.山田光太郎氏と梅原雅彰氏と國分雅敏氏と共同で3次元双曲空間内のガウス曲率0曲面の特異点についての研究を始めた。
7.Schmitt氏とKilian氏と共同で、可積分系の方法を使って、R^3内と双曲空間内と3次元球面内の平均曲率一定trinoidと呼ばれている曲面の作り方の研究を始めた。
以上の結果は学術論文に発表されたことを付記しておく。

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配分額：12500000円 （ 直接経費：12500000円 ）

1)一般超幾何関数およびOkubo方程式の研究,2)Painleve方程式をはじめとする非線形可積分系の研究が本課題の目的である.GL(N,C)の正則元の中心化群の共役類はNの分割によって決まるが,一般超幾何関数は,このようにして得られる極大可換部分群の普遍被覆群の指標をラドン変換して得られるGrassmann多様体Gr(n,N)上の関数である.この積分表示の被積分関数から定義される代数的なde Rham cohomology群を具体的決定を行った.この問題はn=2の場合には一般的に,またn>2のときにNの分割が(1,...,1)や(N)の場合にすでに解決していたがそれ以外の場合には未解決であった.今回,分割が(q,1,...,1)の場合にcohomology群のpurity, top cohomology群の次元,具体的な基底の構成を与えた.この結果は関数を特徴付けるGauss Manin系を決定するときに重要である.また,分割が(N)の場合,すなわちgeneralized Airy関数の場合にde Rham cohomologyに対する交点理論を整備し,その交点数をskew Schur関数を用いて明示的に決定する研究を行った.このときに,特異点理論におけるflat basisの類似物が重要な役割を果たすことが示された.
アクセサリパラメータを持たない方程式については,Okubo方程式についての結果を用いることによって,解の積分表示を持つことが示された.この積分表示はGKZ超幾何関数の積分表示の特別な場合になっており,その枠組みでの明確な位置づけと不確定特異点をもつ方程式を含む総合的な理解はこれからの課題である.
Painleve方程式については,解全体をパラメトライズする解析的な空間である初期値空間の研究において,この空間にSymplecticな構造がはいること,初期値空間の幾何学的構造がPainleve方程式を本質的に決定してしまうことが示された.さらにPainleve方程式に関する不思議な現象が発見された.Painleve II型方程式は自然数によって番号付けされるひとつの系列の有理関数解を持つことが知られているが,この有理関数解を係数とするgenerating functionを作るとそれはAiry関数の無限大での漸近展開から得られることが分かった.

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配分額：3600000円 （ 直接経費：3600000円 ）

曲率が下から,次元が上から押さえられたアレクサンドロフ空間全体の空間にハウスドルフ距離を与えた距離空間(以下モジュライ空間)をAとし,この上の上半連続関数の関数空間をIと表す.Iは不変量のなす空間と云える.距離空間の個数一定の点の順序付きの集合をネットと呼ぶ,これは空間を離散化したものと思うことができる.ネット全体はその空間の直積と見なせるので,各空間とそのネットの組み全体を考えると,A上のファイバー空間のようにみなせる.その各ネットに対してそれらの二点間の距離から定まる行列でユークリッド空間への写像を作ることでネットの距離構造を表現し,これを精密に行うことによりアレクサンドロフ空間のネットの空間を無限次元バナッハ空間に等長的に埋め込むことができる.この写像から距離構造の局所的なデータを取り出す別な(ユークリッド空間への)写像を導入した.このようものは一意的に決まるわけではないが,リーマン多様体のラプラシアンとの類似により離散ラプラシアンを定義し,ネットの個数が無限に発散するときの離散ラプラシアンのファイバー上の平均を取ることでその統計的な挙動を調べる手法を導入した.これにより(適当な意味で)離散ラプラシアン(の固有値・固有ベクトル)がネットの取り方によらないある極限に確率収束することを示し,さらにこの極限は桑江・町頭・塩谷によるアレクサンドロフ空間のラプラシアンとある意味で一致することを示した.
次に我々は離散ラプラシアンが有限次元の行列として表されることに注目し,異なる空間(とネット)の間でそれを比較することで,Aの新しい構造を定義することを試みた.比較する方法として,有限なパラメータを持つ分布の間の相対エントロピーがリーマン計量(フィシャー計量)を定めるという情報幾何の結果に着目した.まず,離散ラプラシアンを変形することでネットの定常マルコフ連鎖が得られることを示し,別の空間のネットのマルコフ連鎖の間の相対エントロピーを考察した.これは幾つかのパラメータとネットの選び方によって定まるので,平均と極限をとることで相対エントロピーの連続極限を構成した.

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配分額：3100000円 （ 直接経費：3100000円 ）

曲面の曲がり方を測る尺度としての平均曲率は、曲面の外在的量として曲面の空間での置かれ方を測る重要な量である。平均曲率が恒等的に0である曲面は極小曲面とよばれ、表面積最小曲面が重要な例である。平均曲率が一定で0でない曲面は、体積一定のまま表面積を最小にすると得られる。球面は自明な例であるが、1984年にヴェンテは平均曲率一定なトーラスを発見した。我々の研究は、このことに関係している。研究分担者のラスマンウェイン氏が精力的に研究されたので、主にその結果を報告するが、得られた結果を大別すると以下の4つとなる。
1.ヴェントトーラスのモース指数
前から使っている方法を用いて、平均曲率一定曲面として最も典型的でHopf予想に対する最初の反例であったWente toriの指数を初めて評価した。この結果からWente tori及び平均曲率一定曲面の最小指数は球面を除けば9であることが予想される。
2.二重周期極小曲面
二重周期的でScherk型のend(無限遠境界)をもつ極小曲面について、KarcherとWeiによる結果を拡張して、様々の位相型をもつ曲面の存在を示した。例えば、4κ個のScherk型のendをもち、genusが3の極小曲面の1次元族の構成方法を与えた。
3.面積最小円板の埋蔵
3次元ユークリッド空間内のpolygonal Jordan curveを境界とするDouglas-Rado解が滑らかで一意的に存在する条件を求め、境界での対称性を使って、catenoid-endの極小曲面の広いクラスを構成した。
4.離散スペクトルとワイルの漸近公式
錐型の孤立特異点をもつ曲面のラプラススペクトルについての最近の発展を、余次元2の特異性を持つ場合に拡張した。スペクトルの離散性を証明し、スペクトルの発散度に関するWeylの漸近公式が成り立つことを示した。

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配分額：15100000円 （ 直接経費：15100000円 ）

本研究課題において、1999年度3回、2000年度3回、2001年度2回の大中小規模のシンポジウム・国際研究集会・研究会等を行った。特に、1999年8月に第46回幾何学シンポジウム(東大)を,2000年7月に第9回日本数学会国際研究集会「微分幾何学における可積分系」を,2001年12月には東京都立大学において国際研究集会「リーマン部分多様体の幾何学」を実施し,部分多様体の微分幾何学的研究について総合的に研究成果発表・議論・意見交換を行なうとともに、本研究課題に関するreviewを受けることができた。荻上・前田・足立らは、複素空間形より一般に対称空間やその部分多様体における曲線特に円の研究を発展させて成果を挙げた。特に、複素空間形内の測地球面のlength spectrumを整数論的手法も取り入れて詳細に調べた研究は、高く評価されJ.Math.Soc.Japanに掲載決定された。宮岡は、等径超曲面の分類問題で主曲率6,重複度1の等質性に別証明を与え、高い評価を得た。石川、木村とともに、ガウス写像が退化する球面の部分多様体で,コンパクト,かつFerusの等式をみたすものを多数構成し、副産物として多くのスペシャルラグランジアン部分多様体の例を与えた。北川は、3次元標準球面内の平坦トーラスのうち平均曲率が一定でないものの等長的変形について研究し,これらの平坦トーラスはすべて変形可能であることを証明した。剱持は、複素空間形内のガウス曲率一定の曲面および平行な平均曲率ベクトルを持つ曲面の分類を、ある非線形常微分方程式を精密に解析することにより得ており、国際的に高水準の雑誌に掲載が決定している。関川は、橋本・間下らとの共同研究で概複素6次元球面内の4次元CR部分多様体のBryant流の動標構の方法で構造方程式を与え、その応用としてそのような部分多様体の特性類に関する基本的性質を研究し、さらに、リー群論的な方法で新しい例を与えている。小磯は、活発に境界付き平均曲率一定曲面の変形や安定性問題の解析を行ない優れた結果を得た。また、荻上・中村・浜田らにより、研究成果・情報を広範囲に効果的に情報交換するシステム(ppdg)は大いに活用されたが、さらに、ゲスト、大仁田により、このシステムを幾何学のサーバーへの今後の発展が期待される。

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配分額：2100000円 （ 直接経費：2100000円 ）

今年度の研究の結果,次の点が明らかとなった.
・曲率が下に有界な3次元コンパクト・アレクサンドロフ空間において極小曲面を構成するためには,そのような空間にリプシッツ構造を構成する必要があった.これに関して,一点からの距離関数の一般化された意味の積分曲線のリプシッツ性が得られた.とくに,2次元の場合には距離球にリプシッツ構造が入るので,アレクサンドロフ曲面にはリプシッツ構造が入ることが分かった.3次元において問題となるのは,距離球にリプシッツ構造を構成する点である.これは2次元の場合の結果を拡張することで実現出来そうである.従って,これまでの研究の結果により,3次元アレクサンドロフ空間にリプシッツ構造を構成する問題は,かなり現実的に解決可能な問題となってきた.
・上記問題と少し関連して,絶対全曲率が押さえられた曲面が,測度つきグロモフハウスドルフ収束に関する収束,崩壊の具体的な記述が可能となった(堀敦彦氏との共同研究).来年度中に論文を完成させる予定である.
・最大の頂点数をもつコンパクト非負曲率アレクサンドロフ空間の等長類の分類については,数学的には出来ているのだが,本年度は論文を完成する時間的余裕がなかった.来年度中に完成させる予定である.

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配分額：5900000円 （ 直接経費：5900000円 ）

本研究では,ユークリッド空間の極小曲面に関するワイエルストラス型表現公式とその一般化を考察した。まず,3次元ユークリッド空間の極小曲面,という古典的なカテゴリで,フラックスの逆問題に肯定的な解答を与えた。ここであらわれる(複素解析的な量としての)フラックスの一般化として,3次元双曲型空間の定平均曲率1をもつ曲面に対してフラックスとよぶべきホモロジー不変量を定義し,そのバランス公式を用いてある種の曲面の非存在を証明した。
3次元双曲型空間の定平均曲率1の曲面にたいして,全曲率に関する不等式(オッサーマン型不等式)を用い,全曲率が小さい曲面の分類を試みた。とくに,全曲率が4πより小さい曲面については完全な分類が得られた。この分類の副産物として,特殊な場合には従来知られていた不等式よりもつよい不等式が成立することを示すことができた。
また,一般に4次元以上のユークリッド空間の極小曲面に関する良く知られたワイエルストラスの表現公式の一般化として,ある種の非コンパクト型対称空間の正則ガウス写像をもつ曲面という概念を導入し,そのようなクラスの曲面に対して,ユークリッド空間の極小曲面との間の,一般化されたローソン対応が成り立ち,ワイエルストラス型表現公式が存在することを示した。さらに,その公式の応用として,曲面の全曲率に関する大域的な結果を得た。また,高次元のユークリッド空間の完備極小曲面に対して,その全曲率がみたすオッサーマン型の不等式の等号条件を決定した。この不等式の一般化については,現在進行中である。

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配分額：6600000円 （ 直接経費：6600000円 ）

1.共形平坦な超曲面の研究。4次元空間形内の3次元超曲面の研究はE. Cartan以来ほとんど進展していなかった。本研究により、この長い間の問題を完全に解決した。各超曲面が持つ4次元球面の中ので美しい構造を見つけ、この構造により3次元の共形平坦な超曲面は、球面の共形変換で不変な3つのclassに別れる事が分かった。それらのclassに、それぞれの放物族・楕円族・双曲族と名前をつけ、これらの族は、それぞれ3次元のEuclid空間・双曲空間・球面内の定曲率曲面から作られる超曲面で構成されている事を示した。
2.統計的多様体の共形-射影変形の研究。この研究で次の結果を得た。共形-射影変形は、任意の超曲面の臍点を保ちリッチ曲率の歪対称成分を変えない変形である。逆に、次元が3以上のときは、このような変形は共形-射影変形に限られる。また、次元が4以上のときにリーマン多様体の場合の共形曲率テンソルの拡張となるテンソルを発見した。
3.3次元定曲率空間形内の曲面の表現公式およびガウス写像の研究。この研究を進める上で"ある完備でなく曲率が下に非有界な非正曲率空間への調和写像の存在問題"を調べる事が必要であった。この調和写像の研究において、調和写像を無限遠におけるDirichlet問題として取り扱い、その可解性・一意性等を示した。そして、これらの結果を用いて、3次元双曲空間形内の平均曲率一定曲面を逆構成した。
4.平均曲率一定曲面の可積分系理論の観点からの拡張の研究。汎調和平均曲率曲面を3次元空間形内の空間的曲面に対し拡張し、特に、平均曲率一定曲面の特徴であるローソン対応が汎調和平均曲率曲面についても成立することを証明した。また、変分法的拡張であるH曲面との関連を明らかにした。汎調和平均曲率一定曲面が、H-曲面に対するゲージ理論的方程式での特殊な簡約条件により、得られることもわかった。

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配分額：3200000円 （ 直接経費：3200000円 ）

分担者も含め合計25編以上の論文成果を得た.
1997(平成9)年度
1.擬ユークリッド空間内の二重調和部分多様体の分類問題について新しい成果を得た.詳説すると
(1)二重調和曲線を完全に分類した.
(2)3次元擬ユークリッド空間内に二重調和曲面の存在しないことを証明した.
(3)4次元擬ユークリッド空間内の二重調和曲面の分類定理を得た.
2.擬ユークリッド空間のド.ジッター球面に埋め込まれた空間形極大部分多様体のリッチ曲率に関係する付帯条件による分類問題を論じた.
3.擬ユークリッド空間のド.ジッター球面に埋め込まれた一定スカラー曲率の空間形超曲面に関係する球面定理を論じた.
4.共形平坦な3次元リーマン多様体のスカラー曲率とリッチ曲率に関する制限条件の下での分類定理を得た.
1998(平成10)年度
1.擬ユークリッド空間内のドジッター球面に埋め込まれた空間的なコンパクト超曲面のスカラー曲率rがr≦n(n-1)cを満たすならば,それは球面に限る.
2.Cloffordトーラスの特長付けを得た.
3.(1)スカラー曲率が非負の一定値でリッチ曲率が一定ノルムの共形平坦な3次元リーマン多様体分類問題を論じた.
(2)スカラー曲率が負の一定値でリッチ曲率が一定ノルムの共形平坦な3次元リーマン多様体の分類問題を論じた.
1999(平成11)年度
1.単位球面内のRicci曲率の長さSがある範囲内の極小閉曲面の分類問題を研究した.これはS.S.Cherm,do Carmo and S.Kobayashiの著名な仕事「単位球面内のn=Sを満たすn次元極小閉曲面はClifford torusに限る」に関連した結果である.
2.1998(平成10)年度の項で説明した研究内容3についてさらに研究して改良した結果を得た.
3.次の未解決問題の研究を引き続き進める:
(1)3次元ユークリッド空間内の有限型曲面の決定問題(3次元ユークリッド空間内には極小曲面,球面,直円柱面の3例以外に有限型の曲面は存在しないという予想問題).
(2)ユークリッド空間内の二重調和部分多様体の決定問題(次元が4以上のユークリッド空間内では調和なもの以外に二重調和部分様体は存在しない).
(3)4次元ミンコフスキー空間内の二重調和部分多様体の完全分類.

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配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）

本研究の目的は,さまざまな古典特殊関数を統一的に理解し,さらに多変数関数への自然な一般化になるように我々が導入した一般超幾何関数(GHF)の性質を調べることであった.
[1]:GHFはGrassmann多様体Gr_<r,n>上のholonomic系の解として定義され、P^r上の多価関数を被積分関数とする形式的な積分表示をもつ.この積分表示を de Rham 理論の枠組みでとらえること, すなわち、ある種のcohomologyとhomologyの間の dual pairing として理解することが一般超幾何関数に関する具体的な結果を得る上で重要な問題となる.
ここでは,P^r上の積分に対して,そのホモロジー群を無限チェインのホモロジー群として定義し,それがある空間対にたいするコンパクトな台を持つホモロジー群と同型になることを示した。さらに,この結果を用いて特にr=1の場合にホモロジー群の次元を計算しその基底を具体的に与えた。
[2]:一般超幾何関数の最も簡単な場合であるベータ関数B(α,β)および 合流型の一般超幾何関数の中で最も簡単なものであるガンマ関数Γ(α)については次の公式がよく知られている。
【numerical formula】
これら公式を de Rham 理論の観点からcohomoligy classの交点数とhomology class交点数を用いて書かれたものとして理解するという問題がある。我々は一重積分で定義される一般超幾何関数についてそのコホモロジー群の基底をうまく選びその交点行列を具体的に与えた。よい基底を選ぶことによって,その交点行列は超幾何関数の独立変数によらないようにすることがしめされた。交点行列の具体的な決定が可能になった背景には,そのよい基底が各特異点でA型の単純特異点のJacobi環のよい基底として知られていflat basisと類似の性質をもつことがある。

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配分額：3400000円 （ 直接経費：3400000円 ）

本研究では,ワイエルストラス表現公式の大域的問題を扱った.まず,大域的問題の周辺に現れる基礎的な問題を主として考察した.ユークリッド空間の極小曲面に関するモノドロミー問題は,ある種の積分の周期問題と考えることができるが,たとえば,双曲型空間のCMC-1曲面についてのそれは,「リーマン面上の常微分方程式のモドロミー問題」とみなすことが出来たのであった.ここで現れるモノドロミー問題は「モノドロミー群がユニタリ群にreduceされるのはどんな時か」という形に述べることができる.この条件を一般的に書き表すには多大なる困難があるが,問題がある種の対称性をもっている場合は,解ける可能性があり,それを用いて対称性をもつCMC-1曲面の具体例が大量に構成できることがわかった.この事実と類似の状況が,リーマン面上の特異定曲率計量についても成り立つことが示され,さらに,ある位相的条件のもとでその計量の分類問題が解決された.また,曲面を離れて,ある種のフックス型の微分方程式のモノドロミーについて考察した.
さらに,定曲率計量の分類問題の応用として,双曲型空間のある種の定平均曲率曲面の分類問題を解決した.これは,ワイエルストラス-ブライアン型表現公式のモノドロミー問題に帰着される問題であった.ここで扱った手法をさらに深めることによって,自明でない位相型をもつリーマン面上の特異計量,とくに,トーラス上の特異計量と楕円関数論の関係が明らかになった(現在発表準備中).
また,CMC-1曲面の分類と関係して,ユークリッド空間の完備な極小曲面に対して定義されるホモロジー不変量(通常「フラックス」と呼ばれる)のCMC-1版が発見され,さらに,種々のカテゴリーの曲面に関して,その(ある種の)表現公式に含まれるスペクトル・パラメータを利用することで,ホモロジー不変量を定義することができることがわかった.
さらに,不定値幾何学のカテゴリーで,3次元ミンコフスキー空間の極大曲面のワイエルストラス型表現公式を用いて,ある種の曲面の構成を試みた.この場合は,曲面の位相はあまり問題にはならず,むしろ,特異性をもつ曲面の特異点の回りの挙動が問題となる.現時点では,特異点の挙動が非常におとなしい場合の分類ができている。

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本研究では、一般合流型超幾何関数全体のなすヒエラルキーの構造を、様々な視点から解明していくことを目的としていた。今年度得られた成果は次の通りである。
1.合流型超幾何関数に付随する(コ)ホモロジー群の交点理論について。
確定型の超幾何関数に対しては、(コ)ホモロジー群の交点理論は確立されつつあり、交点数を具体的に計算する手段も知られている。合流型に対しては、一つは確定型の場合の方法で類似することで、交点理論が建設されつつある。一方、交点理論からの帰結として(確定型)超幾何関数の2次関係式が得られていたが、その関係式に直接合流操作を施すことで、合流型の超幾何関数についての2次関係式を手に入れることができた。その結果から、逆に交点理論のあるべき姿を予測することができるようになった。
2.局所・大域解析について。
一般合流型超幾何関数は、初等関数を核とする積分表示を持つので、積分サイクルを決めたときの局所挙動を調べることができれば、局所解析と大域解析が結びつくことになる。(2、4)型、(2、5)型の合流型超幾何関数について、サイクルの合流を追跡することで、典型的な挙動を与えるサイクルは、合流後もやはり典型的な挙動を与えるサイクルになること、その背後には漸近挙動の合流があることを解明した。
3.合流操作の応用
線形微分方程式のモノドロミ-群に対して、線形アーベル群の合流を応用し、退化した場合の結果を退化していない場合の結果から極限操作で得ることができた。

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配分額：2900000円 （ 直接経費：2900000円 ）

本研究の目的は,Kummerの合流超幾何関数,ベッセル関数,エルミート関数,エアリ関数などのさまざまな古典特殊関数を統一的に理解するために我々が導入した,一般超幾何関数(GHF)の性質を調べることであった.
1:GHFはGrassmann多様体Gr_<r,n>上のholonomic系の解として定義され,形式的な積分表示をもつ.この積分表示をde Rham理論の枠組みでとらえると,すなわち,ある種のcohomologyとhomologyの間のdual pairingとして理解することを試みた.ここでは,GHFの特別な場合であるGelfand,Serganova,Retahkによって導入されたgeneralized Airy function及び,GHFが一重積分で与えられる場合にcohomology及びhomologyを調べた.具体的には
(1)r-重積分で定義されるgeneralized Airy functionを特徴づけるholonomic系をsingular locusの外でholomorphic integrable connectionとして実現することと関連して,[3]で,被積分関数から定義されるrational twisted de Rham complexのcohomology groupの計算を行い,r次以外のcohomology groupがtrivialになること(消滅定理)を証明し,さらに,r-次cohomology groupの次元が_<n-2>C_<r-1>であることを示した.また,r-次cohomologyの基底がSchur関数を用いて与えられるという予想を提出した.
(2)一方,generalized Airy functionの積分領域をP^r上のある種のfamily of supportsを持つhomologyのcycleとしてとらえ,homology groupがr-次以外ではtrivialになること,さらにr-次のhomology groupはde Rham cohomology groupの次元とおなじ階数を持つ独立変数の空間上の局所定数層を与えることを,古典的な鞍部点法をr次元に拡張した理論を用いて示した[4].
(3)積分表示が一重積分で与えられる場合(言い換えれば,Lauricellaの超幾何関数F_Dから"合流"で得られるGHFの場合)に,H^1以外のcohomology groupがtrivialになること(消滅定理),一次元cohomologyの基底を具体的に与えた[2].
2:古典的な超幾何関数については,合流という極限操作が知られていて,Gauss超幾何関数から他の特殊関数が得られる.論文[5]において,この現象をLie環gl_nの正則元全体に自然に入るstratificationによって説明することができることを示し,さらに,一般のGHFに対して合流操作を具体的に与えた.

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配分額：8300000円 （ 直接経費：8300000円 ）

研究代表者(剱持)は部分的に正曲率な多様体内の極小部分多様体に関する交差性定理を発表した。また複素2次元複素空間形内の実2次元定曲率極小曲面の分類について研究して次のような成果を得つつある:高次元単位球面内のガウス曲率が一定であるような極小曲面はその座標関数に関して興味深い過剰決定系を導く。それは多くの数学者によって研究されてきて、現在では最終的解答が得られている。同種の問題が複素射影空間内の極小曲面に対して考えられるが、実空間形の場合と同じ方法は使えない。先ず、このような曲面の第2基本形式に関して微分幾何学的特徴を得ることができ、それを使ってケーラー関数に関する連立常微分方程式を得た。このシステムは更にガウス曲率の符号によって異なる1つの未知関数に関する連立常微分方程式系になる。このシステムを詳細に解析して、最終的に自明解以外には共通解がないことを示した。他の全ての場合にもそれぞれの工夫をすることにより、同様な結論が成立することがわかる。
深谷 賢治はア-ノルド予想を一般な形で証明した。これは非常に注目すべき成果である。
部分多様体の研究に関して、研究分担者の宮岡 礼子は極小曲面と戸田方程式の関係について深く研究した。山田 光太郎は3次元双曲型空間の平均曲率1の曲面の理論の建設に貢献した。曲率と位相に関しては、研究分担者の陶山 芳彦は標準的球面のdiffeotopyの新しい構成法を与えた。また正曲率リーマン多様体に関してのある微分幾何的不変量の大きさについて評価を行なった。そして、これらの結果を用い0.654-pinchedリーマン多様体が標準的球面と微分同型であることを証明した。

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配分額：1200000円 （ 直接経費：1200000円 ）

双曲型空間の定平均曲率1の曲面(CMC-1曲面)に対して「双対性」という概念が発見された。この概念を用いることにより完備・有限全曲率をもつようなCMC-1曲面で複雑な位相型をもつ(種数の高い)ものが数多く構成できた。これらの曲面に付随して,種数の高いコンパクトリーマン面上の錐的特異点をもつ定曲率1の共形計量の例を作ることができた。
これらの曲面,計量及びCMC-1曲面のWeierstrass表現の変形を通して双曲型空間の定平均曲率曲面が得られるだろう。双対性の概念と表現公式を通してその変形の方向に対するひとつの候補をみつけることができた。
双対性の概念を用いると,Gauss写像がCMC-1曲面の性質にどのような影響をあたえるか,が具体的にわかる。このことを用いて「全曲率」に関する不等式を得ることができた。

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配分額：900000円 （ 直接経費：900000円 ）

双曲型空間H^3の中の定平均曲率1の曲面(CMC-1曲面)について,正則なデータを用いてそれを表現するBryantの公式-Weierstrass表現の双曲版-が知られていたが,それから具体的に曲面を構成することは難しい.それは,その表現公式にデータとして与えられる正則関数の幾何学的意味がimplicitであることに起因する.そこで,幾何学的な意味が明白な量であるような量で,双曲的Gauss写像,Hopf微分を用いて曲面を表現することを考えた.実際,これらの量を与えられると,対応するCMC-1曲面全体の集合を決定することができる.さらに,それらの曲面は,(簡単のため完備,全曲率有限の場合に限れば)コンパクトリーマン面上の定曲率1の共形擬計量で,有限個の点に錐的特異点を持つものと1対1の対応が付くことがわかった.この対応によって,完備,全曲率有限なCMC-1曲面で,対称性の高いものが構成できた.これらは,Euclid空間における対称性の高い極小曲面-例えばJorge-Meeks曲面-の双曲的対応物であるが,極小曲面の場合と違い,自己交差を持たないことが有り得る,ということが,数値計算とコンピュータ・グラフィックスによる実験の結果予想できた.これは,双曲型空間におけるCMC-1曲面の,Euclid空間の極小曲面と大きく異なる性質であると考えられる.
われわれの構成法における双曲的Gauss写像の役割を観察すると,平均曲率が1でない場合の表現公式に関する示唆が得られる.しかし,この計算を具体的に遂行するには今一つ時間がかかると考える.

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配分額：1000000円 （ 直接経費：1000000円 ）

3次元双曲型空間の平均曲率1をもつ曲面について、Bryautの表現公式を見直すことによって、曲面と、Conical singularitiesをもつ定曲率1をもつRiewann面上のConfonnal metricとの関係が明らかになった。
このことと関連して、irreducibleな曲面-いままでひとつも例がしられていなかった-の例を構成することができた。これらの例はEuclid空間の極小曲面の中に対応するものが知られているが、数値計算とコンピュータグラフィクスの結果から双曲型空間の例の中にEuclid空間の場合とことなり、embeddedになるものが存在することが予想できた。このembeddednessの液学的証明は今後の課題である。
また、最近とくに多く知られるようになったEuclid空間の極小曲面を、“Small perturbatim"-空間型の変形とLie群の変形理論による-によって双曲型空間の平均曲率1の曲面に変形する一般的な方法への糸口がみつかった。いくつかの具体例についてはこの方法は成功している。

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配分額：1400000円 （ 直接経費：1400000円 ）

標記研究課題の今年度の経過及び成果を次のように報告し、今後の展望を簡単に記す。
交付申請書においては、研究の目的が大きく分けて4個あった。そのうちの一つに、「ブラウン運動の正値超汎関数が決める一次形式は有界正値測度による積分形式となるが、この定理をより精密化することによって、ブラウン運動の正値超汎関数に対応する正値測度をFernique型の評価式で必要十分条件として特徴付ける。」を挙げておいたが、この問題に関してほぼ目的通りの成果を得る事が出来た。詳しく言うと、少し一般化して、ホワイトノイズの正値超汎関数(Hida Distribution)に対して、それに対応する正値測度をFerniqu型の評価式で特徴付けることが出来た。なお、この成果を得るに当たって、補助金からの旅費による出張がもたらした研究上の情報交換が重要であった。特に、昨夏の名古屋でのConference on Gaussian Random Fieldsにおいて、Potthoff,Streit(Bielefeld,独)から与えられたBerezanskii,Kondrat'ev,Samoilenko(Kiev,ソ連)等の研究に関する情報は貴重であった。枠組み、方法、視点は、異なるが、多くの結論が独立に得られていることが分かった。また、この研究会議中に、Berezanskii氏と直接議論をすることが出来、上記成果の発表に関して、氏からの示唆を受けた。この成果については昨年10月にある雑誌に投稿し、現在referee,editor、著者との間で連絡調整中である。
この課題研究の大きな目標の一つであるFeynmanの経路積分に関しては、Donsker's delta functionが正値超汎関数になるので、それに対応する測度による積分を具体例に対して、試行錯誤的に適用し、種々の考察をしようとしているところである。

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資金種別：競争的資金

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資金種別：競争的資金

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