配分額：10010000円 （ 直接経費：7700000円 、 間接経費：2310000円 ）

本研究では、主にMalliavin解析や作用素分解法を使いジャンプ型確率微分方程式解のシミュレーション方法について研究を行った。新シミュレーション方法を発見し、数学的な性質について結果を得た結果、従来の方法に比べ正確で素早く計算できる方法を発見した。また、数理ファイナンスモデルでよく使用されるジャンプ型確率微分方程式は、リスクを計るためにGreeksと呼ばれる量を計算しなければならない。この分野におけるさまざまな無限次元部分積分公式により計算式が得られシミュレーションを行った。アジアン型確率変数に対しての密度関数の下からの評価を得られて、これからフィルテリングに対しての応用を考えています。

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配分額：36010000円 （ 直接経費：27700000円 、 間接経費：8310000円 ）

数理ファイナンス/金融工学に関連する数理技術、特に「最適化・オペレーションズ・リサーチ」「確率数値解析」「情報ネットワークセキュリティ」という3つの要素技術に関して理論的研究を行った。また、それらを実装したソフトウェアをインターネット上で公開した。さらに、金融数値計算を行うシステムの設計と構築を行った。その結果、高度な専門的数理技術を容易にアクセスできるようになった。

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配分額：3630000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：630000円 ）

(1)楠岡近似の原理に従って確率微分方程式で記述される拡散過程の高次弱近似を可能とする、頑健で汎用的な数値計算アルゴリズムを発見・構成した。(2)数理ファイナンスへの応用によりその有用性:(a)計算の劇的な高速化(b)頑健な離散化の実現(c)汎用性、を検証した。(3)そのアルゴリズムが広く社会に受け入れられるように計算機プログラムを開発した。

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配分額：10320000円 （ 直接経費：8700000円 、 間接経費：1620000円 ）

インサイダー取引モデルでは株の値段がジャンプすることを認めるとインサイダーが将来の情報があってもリスクが残ることによって市場の均衡が起こる可能性がある。また、Backモデルの拡張について結果が得られた。確率微分方程式タイプのモデルにも提案した。
確率微分方程式の数値解析では径路方法を構成し、いろんな場合に使えることを期待している。また、密度関数のシミュレーションに対して、分散減少法を作って、その解析ができた。

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配分額：48490000円 （ 直接経費：37300000円 、 間接経費：11190000円 ）

本研究の目的は、金融リスク管理のための新しいITモデルの研究と開発である。
・金融リスク評価の精緻化
まず、信用リスクの定量分析のための中小企業の財務データベースを構築した。そのデータベースを利用して、新しいタイプの銀行ローンの適正貸出金利算出モデルを開発した。モデルの主要な特徴としては、財務データベースに基づく伝統的な統計的アプローチと確率解析によるクレジット・デリバティブの価格付け手法とを組み合わせたものであるということである。また、多目的遺伝アルゴリズムによる信用スコアリングモデルのチューニングに関する研究を行った。
・最適化技術の向上
不確実な状況下においてトラッキングエラーを最小化するモデルを構築した。また、その最適解を効率よく求める手法を開発した。リスクを回避するため、考えうる最悪の状況下での誤判別率を最小化する判別問題についての基礎研究を行った。適用できる確率微分方程式のクラスに制限がなく高次近似が可能な、楠岡近似の画期的なアルゴリズムの開発に成功した。さらに、この手法が数理ファイナンスの問題に非常に有効であることを実証した。
・IT環境の構築
電子商取引において重要なディジタル署名に関して、structured aggregatesignatureという署名法を構築するとともに、Rabin型署名の既存の安全性証明の誤りに対する訂正法を導出した。信用情報共有基盤技術としてのXBRLおよびサイバー金融システムの研究を行った。そして、日本における金融庁のEDINET、東京証券取引所のTDnetに代表されるXBRLの取り組みの支援をした。
以上の研究成果を合計19本の論文(査読付き)と1冊の図書で発表を行った。また、研究期間中にシンポジウムやワークショップを計6回開催することにより、積極的に情報収集を行うとともに、上記の研究成果を内外に周知した。

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配分額：14400000円 （ 直接経費：14400000円 ）

本研究計画の目的は、確率数値解析に於ける現在的諸問題として、主に次の諸課題について、確率論、エルゴード理論、数値解析論等関連する諸分野の研究分担者が横断的に連携して総合的研究を行うことであった(()内は主な担当者);
(1)数値積分と乱数の研究(伊藤、森、福山、杉田、小川)、
(2)確率微分方程式の数値解法の研究(二宮、小川)、
(3)いわゆるOgawa積分に基づく非因果的確率解析の基礎研究と応用(小川)
(4)関数方程式の確率的解法の研究(西岡、小川)、
(5)OR、金融工学、計算機科学、数理社会学等応用分野に於ける確率的手法・アルゴリズムの開発(佐藤、二宮、西岡、小川)
平成15年度より18年度までの計画期間を通して、各グループは並行して研究活動を行い理論面での貢献から金融工学に於ける有効な計算手法の開発に至るまで大きな成果を上げ、国際会議での発表や関連学会誌での数々の論文発表を行った。すなわちグループ内での研究活動ばかりでなく、分担者の海外での国際会議における研究成果発表を支援し、国内でも数理解析研究所や統計数理研究所での共同研究会を始めとする国際会議を開催するなど、広く研究交流の実もあげることを努めた(年度毎の活動目標と実施状況は別冊「研究成果報告書」を見られたい)。

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配分額：3000000円 （ 直接経費：3000000円 ）

本研究の目的は、拡散過程X(t)のと関数fが与えられた時に期待値E[f(X(T))]の値を数値的に求める問題(弱近似問題)を、楠岡近似と呼ばれる新しい近似手法によって解決する方法を確立することであった。楠岡の研究により楠岡近似は既存の近似手法である、Euler-丸山近似に比して非常に少ない次元の数値積分によって近似を実現することが可能であることが示されていた。積分次元はMonte Carlo法を用いる限りにおいては、計算量に対して中立的であるので劇的な高速化は期待出来ない。しかし、quasi-Monte Carlo法は積分次元が小さくなると非常に高速になることが知られている。これらの事実から楠岡近似をquasi-Monte Carlo法と組み合わせることにより計算の高速化が期待されるが、現実の問題に適用する為には以下の様な未解決の問題が在った。
1.汎用的な楠岡近似オペレータの構成の困難
2.楠岡近似にquasi-Monte Carlo法を適用する方法の確立
3.現実の問題に適用しての実証例の不在
本研究は全ての問題を解決することに成功した。
1.に関しては、本研究の開始時点に於いては計算機による記号計算によりオペレータを記号的に求めてそれを計算機上のプログラムに変換するというアプローチを考えていたが本研究で記号計算を経ずに常微分方程式の数値解法を用いる方法が発見された。これにより、非常に汎用性の高いプログラムライブラリが可能となるので、楠岡近似の実用化については決定的な成果であると考えられる。更にこの方法は、高次元正規分布とBernoulli列によって実現されるのでquasi-Monte Carlo法が自然に適用可能である為、2.も同時に解決している。3.については、この新しいアルゴリズムをファイナンスの問題に適用し、800倍という驚異的な高速化を実現した。

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配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）

本年度は、拡散過程のシミュレーション技術の開発において成果を得た。
確率微分方程式で記述された拡散過程X(t, x)と関数fが与えられている時、その期待値E[f(X(t, x))]を求める問題は、確率数値解析の大きなテーマである。金融リスクの計算は、まさにこの問題に他ならない。この計算を行う方法として金融リスクの分野では次の方法がもっとも有用であり広く行われている。それは、拡散過程X(t, x)をEuler-丸山近似と呼ばれる方法で近似するという方法である。現在、拡散過程の近似は殆どこのEuler-丸山近似で行われており、また、この近似計算の研究もEuler-丸山近似を前提としたものが殆どである。研究代表者は、Euler-丸山近似とは別の近似方法である楠岡近似を用いることによって金融リスク計算の劇的な高速化を実現した。楠岡近似を用いると近似計算を数値積分に帰着させたとき、その積分空間の次元を非常に小さくすることが出来る。その結果として、数値積分の速度が非常に高速になる。本年度の結果によれば、ある種の金融派生商品の価格計算は楠岡近似を用いるとEuler-丸山近似を用いた場合に比べて約6000倍高速である。
この結果は、今後、金融リスク計算の分野においては、シミュレーションの技法がEuler-丸山近似から楠岡近似によるものにとって代られるであろうことを示しており、非常に重要な結果である。

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配分額：13100000円 （ 直接経費：13100000円 ）

3年間にわたって様々な金融リスク評価方法に関する研究を行った。
I 倒産判別に関わる研究
(1)半定値計画法を用いた倒産判別モデルの研究
(2)半定値計画法による倒産判別アルゴリズム
(3)非線形半定値計画問題の解法に関する研究
(4)2次効用関数を用いたクレジット・カードの評価
(5)金融工学における大域的最大化問題の研究
II 金融リスク分析に関わる研究
(1)最大予測可能性ポートフォリオ・モデルの解法の研究
(2)ヨーロピアンタイプのオプション価格の上下界値評価
(3)資産運用における下方リスクの研究
(4)シミュレーションによる派生証券価格計算の超高速化
III 金融ビジネス・モデル特許に関する調査研究
IV 金融リスク分析に関する啓蒙運動

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