配分額：155740000円 （ 直接経費：119800000円 、 間接経費：35940000円 ）

結晶成長のような形態や形状の変動現象を記述する非線形拡散型方程式を中心に、時間発展型偏微分方程式に対して、さまざまな数学的手法を融合し、解の存在・一意性問題を示し、解の挙動を解明しました。特に、特異構造を持つ方程式や、特異点を許す形状を許容するような新たな解概念を確立し、実際の現象を記述するのに便利な数学解析の基礎を構築しました。これらの基盤的成果により、例えば今まで計算することが難しかった結晶表面の衝突する渦巻の計算を可能にしました。

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配分額：16250000円 （ 直接経費：12500000円 、 間接経費：3750000円 ）

当研究では、ラグランジュ部分多様体芽の間のラグランジュ同値と対応するグラフ型波面のある種の幾何学的同値関係が同じものである事を示した。その結果、ラグランジュ特異点論の様々な応用が見つかった。例えば、古典的微分幾何学への応用、双曲幾何学への応用、時空の幾何学への応用等の他に特異点を持つ曲面や写像の微分幾何学的研究への応用が含まれる。これらとは別に、この研究を通して、特異点論の量子力学への応用が新たに発見され、現在発展中である。

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配分額：3900000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：900000円 ）

本研究では，予混合燃焼フレームレットモデルにおける局所界面速度の伝搬性とエネルギー保存則の関係を考察することで，局所界面速度を用いて拡張されたレベルセット方程式に対して曲率効果を包含するような新しい３次元定式を導いた．これは，レベルセット法の計算安定化に導入される界面厚さ分布の再初期化法と本質的に同等の効果をもち，また，特定の界面厚さ分布が満たされるとき一般的な界面移動モデルである任意の法線伝搬流および平均曲率流の粘性解を自然に与える定式であることを示した．また，非予混合火炎に適用できる一般化火炎片モデルを新たに導出して，基礎的な層流火炎場での数値検証にて従来手法欠点を改善する結果を得た．

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配分額：41080000円 （ 直接経費：31600000円 、 間接経費：9480000円 ）

幾何学的測度論の枠組みで考える平均曲率流である、Brakkeの平均曲率流に関して基本的な存在定理と正則性定理を証明した。存在定理としては、n+1次元ユークリッド空間の中で任意のn次元閉集合を与えたとき、それを初期データとして時間発展するBrakkeの平均曲率流の時間大域存在を証明した。特異点集合解析については、1次元の場合の3重点周りの正則性理論を証明し、3重点が強い安定性をもつことを測度論的な立場から確立した。

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配分額：13910000円 （ 直接経費：10700000円 、 間接経費：3210000円 ）

調和関数や熱方程式解，Green核，熱核と定義領域の関係や空間複雑性の境界挙動への影響を研究し，ユークリッド空間の複雑領域，多様体，バリフォールド，ネットワーク，フラクタルなど様々な分野に応用した．とくに，除外集合を許したHarnack原理，最小固有値の容量的幅による評価，大域的境界Harnack原理のGreenレベル集合の容量的幅による十分条件，放物型境界Harnack原理（Intrinsic Ultracontractivity）に対応する条件，グラフ領域が大域的境界Harnack原理をみたす臨界連続率，無限における容量密度の極限の0-1法則などに新しい結果を得た．

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配分額：3900000円 （ 直接経費：3000000円 、 間接経費：900000円 ）

正則および特異的な領域変形に対する楕円型作用素(ラメ作用素,ストークス作用素, マックスウェル作用素)のスペクトルの研究を行った (i) 弾性体の斉次方程式の多項式解,有理型の関数の解の構成および構造の研究(本多氏,伊東氏と共同), (ii) ストークス作用素のHadamard型変分公式(Dirichlet条件の場合, 牛越氏と共同), スリップ境界条件の場合も計算を行った(牛越氏と共同), マックスウェル作用素につても同じ結果を得た. (iii) 小さな穴の開いた領域上のラメ作用素およびマックスウェル作用素の固有値の摂動公式, (iv) 細い棒による複合弾性体の低周波固有数の挙動,を求めた.

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配分額：3380000円 （ 直接経費：2600000円 、 間接経費：780000円 ）

相分離現象を記述するために提唱された数理モデルを、過去15年ほど数学の立場から研究しているが、その解析を通じて、曲面の向付けとその曲面測度をペアにして考える観点の重要性を認識するに到った．特に平均曲率流の特異摂動問題において極限で現れる曲面はこのペアの形で得られる．この特徴を用いて、そのようなペアでなければ得られない存在定理や正則性定理を得ることができた．具体的には一般次元における、移流項付の平均曲率流の存在および正則性定理（高棹圭介氏との共同研究、論文査読中）、凸領域におけるノイマン条件付の平均曲率流の存在定理および境界条件の特徴付け（水野将司氏との共同研究、論文査読中）の成果を得た．

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配分額：16510000円 （ 直接経費：12700000円 、 間接経費：3810000円 ）

ローレンツ空間形内の空間的部分多様体に対して、「光錐ガウス写像」を導入し光的曲率と言う不変量を構成た。その不変量を用いて、空間的部分多様体に沿った「光的超曲面」の特異点の記述をルジャンドル特異点論を応用することにより行った。さらに、相対性理論やブレーン宇宙論で重要な「世界面」に対して「焦点集合」を記述する幾何学的枠組みを構成し、「グラフ型ルジャンドル開折」の理論を用いて「波面の伝播」との関係を明らかにした。

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配分額：174850000円 （ 直接経費：134500000円 、 間接経費：40350000円 ）

結晶成長現象、流体運動等、自然科学の諸現象はしばしば非線形偏微分方程式で記述されます。そこに現れる複雑な形状や形態の変化を厳密に数学的現象ととらえ、粘性解析、変分解析、実解析等を進展させて解析を行いました。形状や形態の変動では、変動原理が単純で初期形状が滑らかであったとしても、時間を経ると形状が尖って特異点を持つことがよくあります。そこで微分できない関数を微分方程式の「解」ととらえて解析するために、適切に解概念を拡張する必要が生じます。ここでは結晶成長や流体運動現象等に現れる拡散型方程式について、新たに解概念を導出し、解の存在性や挙動解析を行いました。また離散と連続モデルの関係を調べました。

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配分額：15080000円 （ 直接経費：11600000円 、 間接経費：3480000円 ）

時刻でパラメター付けされた滑らかな曲面の族が平均曲率流であるとは、各点各時刻において、その曲面の平均曲率ベクトルが曲面の速度ベクトルに等しいときである.フェイズフィールド法および幾何学的測度論の技術を用いて、研究代表者は特異点集合を持ちつつ動くような平均曲率流の一般解の存在証明およびその正則性理論の構築に成功し、幾何学的な時間発展問題における基礎的理論を進展させた.

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配分額：4550000円 （ 直接経費：3500000円 、 間接経費：1050000円 ）

可微分コンパクト多様体の山辺不変量と呼ばれる微分位相不変量は, 共形幾何における重要な基本的研究対象である.関連して, 特異空間上の山辺の問題および山辺定数の研究も同時に重要である.本研究の具体的研究成果は, 以下の通りである.
・無限被覆空間の山辺定数に関するAubinの補題.
・それに伴う特異集合を持った漸近的平坦な空間に対する正質量定理.
・オービフォールド山辺不変量の計算法を与えた.
・正の共形平坦3次元閉多様体がKlein多様体であることの証明.
・conic space上の山辺の問題の可解性.

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配分額：4420000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：1020000円 ）

幾何学,物理学に現れる,調和写像に関するエネルギー最小化問題を研究した.とくに,エネルギー最急降下曲線である調和写像の時間発展,調和写像流,の解の時間大域的存在と解の滑らかさ(連続性,微分可能性)について研究した.空間2次元の調和写像流の弱解(数学的な抽象解,超関数の意味の解)の正則性条件を改良した.調和写像の一般化であるp調和写像について,その時間発展であるp調和写像流の弱解の正則性条件の改良を研究した.調和写像に対応する波動方程式である波動写像に関連して,消散型波動方程式の弱解の時間大域存在を証明した.

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配分額：31070000円 （ 直接経費：23900000円 、 間接経費：7170000円 ）

調和,優調和,劣調和関数などは解析学,幾何学,確率論など多くの分野に現れる重要な関数であり,その性質を調べることをポテンシャル問題という.複雑領域,フラクタル,多様体,関数空間におけるポテンシャル問題を多面的に研究し,関数の深い性質を明らかにした.

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配分額：47450000円 （ 直接経費：36500000円 、 間接経費：10950000円 ）

非線形放物型および非線形楕円型方程式の解の構造について定性的な研究を行った.主な研究成果は以下の通りである.まず,ある非線形放物型偏微分方程式おける移動特異点を持つ解の存在とその一意性について調べた.また,特異点の強さがある時刻で変性するような解が存在することを明らかにするとともに,特異点が移動しない場合に解の漸近挙動について調べ,特異定常解に収束するための条件について明らかにした.次に,走化性方程式において,1点に凝集することによって自己相似的に爆発する解の構造について明らかにした.さらに, Gierer-Mienhardt系と呼ばれる反応拡散系に対し,パターン形成に関する数理構造を調べるとともに,時間依存する解の挙動について明らかにした

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配分額：18850000円 （ 直接経費：14500000円 、 間接経費：4350000円 ）

1)散乱の逆問題、2)thermography、3)流体方程式の逆問題に対して、新しい再構成スキームや各種再構成スキームの関連、包括的枠組を与えた。

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配分額：4060000円 （ 直接経費：3400000円 、 間接経費：660000円 ）

コンパクト多様体と言う空間に対して, そこに実現される形(リーマン計量) の在り様全体のなかで最も自然な形を求めることを目標とし, そのため導入された指標が山辺不変量と呼ばれる(共形幾何を経由して)定義された微分位相不変量である.この不変量を求めること, およびその振舞いを調べることが目標である.本研究では, 正の3次元多様体の山辺不変量の計算及びその振舞いに関して成果を得た.また正の山辺不変量を持つ直積多様体に関して, その下からの評価を与えた.さらに, この下からの評価と山辺不変量の手術理論の間に成立すると予想される, 山辺不変量に関する不等式の提出とこの予想の部分的結果を得た.

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配分額：4030000円 （ 直接経費：3100000円 、 間接経費：930000円 ）

幾何学, 物理学に現れる調和写像に関するエネルギー最小化問題を研究した. とくに, エネルギー最急降下曲線である調和写像に対する時間発展, 調和写像流, の解の時間大域的存在と解の滑らかさ(連続性, 微分可能性)について研究した. 調和写像の高次元版であるm調和写像について, その時間発展であるm調和写像流の弱解(数学的な抽象解)の時間大域存在とその解の部分的正則性(滑らかな点とそうでない点の集合を分けること)を証明した. 滑らかでない点周りの解の極限がm調和球面(m次元球面から写像先の多様体へのm調和写像)となる, 特異点周りのbubbling現象を証明した. これらは, 調和写像に対する結果のm調和写像への一般化である. また, m調和写像に対する自由境界問題を研究し, m調和写像流の弱解の時間大域存在とその解の部分的正則性を証明した. また, 自由境界上の特異点周りの解の極限は, m調和球(m次元球から写像先の多様体へのm調和写像)となる, 自由境界上のbubbling現象を証明した.

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配分額：46930000円 （ 直接経費：36100000円 、 間接経費：10830000円 ）

様々な形態がどの様にして生成され、保存されていくかを解明することは自然科学全般に渡って重要な問題である。その原理は多様ではあるが、本研究では拡散効果に異方性がある結晶成長現象を記述する微分方程式や、回転場内流体の運動方程式を中心に、解概念の構築をはじめ解の存在等の数学解析の理論を構築した。その応用として、成長する結晶の平らな面が崩れず、安定となる条件を導出し、結晶成長学の基礎理論の数学的裏付けを与えた。

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配分額：15680000円 （ 直接経費：12800000円 、 間接経費：2880000円 ）

この研究を通して、微分幾何学、シンプレクテイック幾何学、非線形偏微分方程式などの数学内部の対象へ特異点論を応用し、様々な結果を得たばかりではなく宇宙物理学など、周辺科学と関連性のある結果を得た。特に、特異点論を様々な種類の空間形の部分多様体に応用することにより、様々な幾何学(ホロ球面的幾何学、斜傾幾何学)を構成し、その不変量の導入とその幾何学的意味を明らかにした。その結果、ブレーン宇宙論や一般相対性理論におけるモデル空間に現れるブラックホールなどの事象の地平線の形状やその特異点の幾何学的意味付けなどを得ることができた。

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配分額：14430000円 （ 直接経費：12600000円 、 間接経費：1830000円 ）

フェイズフィールド法は相分離面を含む非一様状態を表すため、理論と数値計算に多用されている. 当該研究では、フェイズフィールド法における内部遷移層のプロファイルについて特別な仮定を置かなくても、エネルギーおよびその第一変分、またはそれに類する積分量が制御されていれば、仮定が結果として自動的に成り立つ構造をもつことを様々な問題設定(De Giorgi問題、流体問題、大偏差原理問題など)で示し、フェイズフィールド法の数学的基礎の解明を進めた.

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配分額：3500000円 （ 直接経費：3500000円 ）

研究代表者 三沢は,主にm調和写像の自由境界問題を研究した.m調和写像の時間発展問題の弱解が時間局所的に存在し,空間一階導関数とともに時空領域においてヘルダー連続であることを証明した.解の存在する時間区間の幅は初期値のmエネルギーによって下から評価することができる.この解の最大存在時間での特異挙動は,定常問題の非定数解によって特徴つけられる(bubbling現象).この定常問題の解は,m次元球面から写像先の多様体への,あるいはm次元球体から写像先多様体への自由境界をもつm調和写像であり,写像先の多様体の極小部分多様体と考えられる(論文準備中).解の特異点は有限個であること予想しているが,その証明を現在,考察中である.m調和写像流の特異性は,高々有限個の定常m調和写像のmエネルギーの損失により起こること(エネルギー量子化)を予想し,その証明を考察中である.
研究分担者 利根川は,空間1次元Allen-Cahn方程式に対して大偏差原理に動機つけられた作用積分を考え,拡散界面の厚みを0に近づけたときの極限値はフォーマルなレベルで得られる界面生成コストと界面伝播コストの和で現されることを厳密に証明した.
研究分担者 中島は,4次元領域から3次元球面への定常調和写像の安定性と特異点の近傍での挙動の解析を行い,挙動の完全な分類を得た.現在,この結果の証明の議論を改良,発展させて,3調和写像の等角性について研究代表者三沢と共同に研究している.

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配分額：3700000円 （ 直接経費：3700000円 ）

本科学研究課題の目標は,共形幾何および閉多様体上の群C^*環バンドルの,微分トポロジー・スピン幾何・大域解析・非線形解析および離散群・K理論等による総合的研究であった.
特に,共形幾何における山辺不変量の位相的および大域解析・非線形解析的研究であった.
具体的研究成果は,下記の通りである.
研究分担者間で定期的に研究連絡等を行なった.また,国内・国外へ出張,および海外共同研究等の招聘により,微分幾何,多様体上の大域解析・非線形解析の総合的研究を行なった.
(1)芥川は,海外研究者と3次元多様体および積多様体の山辺不変量に関する結果を得て,下記の論文にまとめており出版予定である.
・Kazuo Akutagawa and Andre Neves, 3-manifolds with Yamabe invariant greater than that of RP^3, to appear in Journal of Differential Geometry.
・Kazuo Akutagawa, Luis Florit and Jimmy Petean, On Yamabe constants of Riemannian products.
芥川はまた,海外共同研究者のA.Neves(Princeton大学)と,コンパクト多様体の無限被覆の山辺定数に関して,いくつかの興味深い結果を得ており,現在進行中である.
(2)小林は,Einstein計量から誘導される接続の変分学的特徴付け・正則曲線の射影構造等の,共形幾何および射影幾何における新しい展開を得た.
(3)久村は,完備多様体上のラプラス作用素の固有値の非存在に関して,最良の結果を得ており,下記の論文を投稿中である.
・Hironori Kumura, Geometry of an end and absence of eigenvalues in the essential spectrum.
(4)井関は,離散群,特にランダム群の非正曲率距離空間への固定点に関する研究成果を得た.
(5)利根川は,2相分離問題の幾何的測度論による研究成果を得た.
(6)森吉は,捩れK理論や亜群C^*環を扱い,一般化されたGromov-Lawson予想に関する結果を得た.
上記の研究において,研究費補助金による国内・国外の研究者の招聘等での直接的な研究連絡は,きわめて重要であった.

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配分額：1200000円 （ 直接経費：1200000円 ）

フォッカープランク方程式の解である,有限次元ユークリッド空間上の確率密度関数で、与えられた初期確率分布と終期確率分布を持つ物を考える。これら全てに関して,その一般化されたエネルギーの最小値と,同じ与えられた初期確率分布と終期確率分布を持つ連続セミマルチンゲールに関する一般化、されたエネルギーの最小値が一致する事を示した.
更に,フォッカープランク方程式の解である,有限次元ユークリッド空間上の確率密度関数に関して,その一般化されたエネルギーの最小値と,同じ確率密度関数を持つ連続セミマルチンゲールに関する一般化されたエネルギーの最小値が一致する事を示した.
特にこれにより,フォッカープランク方程式の解である,有限次元ユークリッド空間上の確率密度関数が一般化された有限エネルギー条件を持たす時,1次元周辺分布の確率密度関数が与えられた確率密度関数になるような連続セミマルチンゲールで,ドリフトベクトルはフィードバック型であり,同じ1次元周辺分布を持つ連続セミマルチンゲールの中で一般化されたエネルギーの最小値を取るものの存在がわかった。特に,コスト関数が無限遠方で2次以上の増大度を持つ場合,この連続セミマルチンゲールは,一意で,マルコフ性を持つ事もわかる.

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配分額：3200000円 （ 直接経費：3200000円 ）

(平成15年度研究成果,実績概要)
研究代表者 三沢は 主に高次元定平均曲率曲面の時間発展を研究した.高次元定平均曲率曲面の時間発展に対する初期値境界値問題を考察し,小さい初期値境界値に対して時間大域的な弱解の存在とその解の部分的正則性を証明した(論文作成中).研究分担者 山浦は 極小曲面の自由境界問題をある近似法により研究した(平成15年度のみ分担者,平成16年度は海外滞在).研究分担者 利根川は 相境界が極小曲面で与えられる相転移問題に関連する特異摂動問題を研究し,極限界面として得られる相境界の正則性を解析する上で基本的役割を果たす特異摂動問題の解のスケールエネルギーの単調性公式を証明した.これにより極限界面が連結であることを示した.
(平成16年度研究成果,実績概要)
研究代表者 三沢は,主に高次元極小曲面の自由境界問題を研究した.変分的手法(minimax method)により高次元極小曲面の自由境界問題の不安定な解の存在と正則性を証明した.また,この不安定な解によって時間発展問題の解の特異性を特徴つけた(論文作成中).以上に関連して,p-調和写像の時間発展に対する自由境界問題を考察し,小さいエネルギーの初期値に対して時間大域的な弱解の存在とその解は空間一階導関数とともにヘルダー連続であることを証明した(論文作成中).研究分担者 利根川は,相境界が極小曲面で与えられる相転移問題に関連する特異摂動問題を研究し,特異摂動問題の安定な解の収束とその極限として得られる相境界の正則性とある種の安定性を証明した.

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配分額：2900000円 （ 直接経費：2900000円 ）

本研究課題の研究目的である生データからタンパク質の3次元初期モデルを自動生成することは当初のアイデアでは、なかなか難しいことが分かった。それは部分的にはアイデアは有効であっても、その有効性の度合いがあまり顕著とはいえないこと、そしてそれを全体の中にどう組み込むかについてのソフトウエア作成技術上の問題のためである。そこで今年度は、関連する研究を行い具体的な成果をあげることにつとめた。具体的な研究成果は、次の二つである。
(1)Pyrococcus horikoshii由来のTenAホモログの構造解析を行った.分子表面には負の電荷を持った部位が存在しており,その部分に未知のリガンドが結合していた.このことからTenAはこれまで考えられていたような転写因子ではなく,おそらくは酵素として働いているものと考えられる.
(2)当該研究課題の関連研究として画像データの認識手段に有効な数値微分法を考案し、その数値実験を行った。数値実験結果は極めて良く、かつ誤差に対してもrobustな方法であることが分かった。この方法は、当該研究に関連する蛋白質の結晶生成過程に必要な溶液中の結晶成長の有無等を、写真撮影画像データから自動判別するのに有効な可能性が高い。またこのような応用ばかりでなく、MRE検査で得られるデータから初期乳がんの発見をするのにも有効と思われる。

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配分額：48880000円 （ 直接経費：37600000円 、 間接経費：11280000円 ）

構造の異方性を反映した非線形拡散型偏微分方程式の解の形状が異方性や拡散効果によってどのように変化していくかを解明するための数学的基礎をいくつかのテーマにわたって築いた。以下、代表的な結果についてのみ述べる。
(i)結晶表面の運動を記述する方程式:雪結晶のように表面エネルギーの異方性が強い場合、その平衡形にファセットと呼ばれる平らな面が現れることがある。駆動力は結晶の外の拡散場になって定まり、拡散場は結晶の形状によって定まる自由境界問題であるが本研究では、(a)ファセットが維持できるとした場合の初期値問題の時間局所可解性;(b)ファセット上での拡散場の大小を主張するベルグ効果の証明;(c)ファセットが曲がってしまうための必要十分条件;(d)自己相似解の存在する十分条件と自己相似解について、その大きさによるファセットが曲がってしまう条件の記述;(e)平衡形の近くではファセットは維持できることの厳密な証明。といったさまざまな重要な結果を得た。なお、結晶形は円柱としている。ベルグ効果では円柱外でのラプラス方程式ノイマン問題の解についての基本的結果を得た。変分法や常微分方程式の結果を巧みに応用することによって上述の結果を得た。今後、ファセットが折れ曲がってからの解の追跡が求められる。
(ii)流体力学の方程式:非粘性バーガーズ方程式では、不連続性を許したエントロピー解の概念を用いれば、時間大域的に一意に解ける非線形項が発散型でかけるということが大前提であり、他の問題に適用できなかった。本計画の直前に代表により導入された適正粘性解の概念は有効である。本計画ではそれを数値計算する上で重要な解のグラフ空間での特異垂直拡散の概念を確立し、適正粘性解を等高面法で数値計算することに成功した。

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配分額：12100000円 （ 直接経費：12100000円 ）

介在物、空洞、亀裂などの媒質の不連続性や材料係数の同定に関する逆問題の逆解析手法の研究を行った。媒質の不連続性の同定に関しては、probe methodとenclosure methodの改良と完成を目指した。特にprobe methodに不可欠な一意接続定理と反射解の解析について研究した。その結果、probe methodの理論的な研究は、ほぼ完成したといえる。enclosure methodについては、その構成が難しい複素幾何光学解に替えてより容易に構成可能な振動・減衰解を用いることにより囲い込み法の適用範囲を広げた。また、probe method, enclosure method, singular source method, no response testなどの境界値逆問題の再構成手続きは、すべてno response testに包括でき、probe methodとsingular source methodはまったく同じものであることが分かった。散乱の逆問題については、有名なlinear sampling methodとよばれる再構成手続期が持つ困難を解消する2種類の新しい再構成手続きを見出した。さらに放物型方程式の不連続係数同定逆問題に対して探針法を研究し、空間1次元の場合に不連続性同定の再構成手続きを与えることに成功した。双曲型程式の不連続係数同定逆問題に対して代田氏が開発した数値計算手法の数学的な枠組みを作った。
材料係数の同定の逆問題に関しては、残留応力の非破壊検査法の数学的な解析手法と鉄・コンクリート接合梁の損傷同定について研究した。前者に対しては、非斉次非等方弾性体の表面波の分散公式を導出と残留応力同定への応用を試みた。後者に対しては、周波数応答関数を使って、損傷を同定する逆解析手法を確立した。また、非線形波動方程式の係数同定逆問題について研究した。Dirichlet-Neumann写像の線形化を行い、それを用いれば係数の2次までの非線形項を求めることが可能との知見を得た。

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配分額：8060000円 （ 直接経費：6200000円 、 間接経費：1860000円 ）

平成16年度は(1)等方的な表面張力がその分離の主原因となっているvan del Waals 2相分離モデルにおいて、表面エネルギーの有界性と化学ポテンシャルに対応する量のソボレフノルムの有界性を仮定し、界面領域の厚みを0に近づけたときの極限界面について新しい結果を得た.同様な方向で2002年に得た結果では部分的なソボレフノルム有界下での結果が得られたが、今年度の結果で完全にシャープな結果を得た(論文準備中).この結果を示すにあたっては新しいregularizationの技術を用いたのであるが、他の現在懸案となっている関連問題への突破口となる結果であり、現在精査中である.(2)確率論の大偏差原理に動機付けられた、安定相間の遷移確率を決定する汎関数、Allen-Cahn Action(ACA)の特異極限問題についてReznikoffは各種のスケーリング則を得たが、特に空間的な非一様性が得られるスケーリングにおいてはACAの上からの評価を得ていた.一方、下からの評価についてのシャープな結果を共同研究で得ることが出来た(Kohn, Reznikoffとの共著論文を投稿中).この結果は空間1次元の結果であるが、(1)の結果を用いる事で各種の2、3次元の結果が得られることが期待される.(3)Penn State大学のLiu氏によって問題提起された非圧縮性流体移流効果のある場合の平均曲率流弱解構成への幾何学的測度論の応用に関して引き続き研究成果があった。

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配分額：35360000円 （ 直接経費：27200000円 、 間接経費：8160000円 ）

本研究では、非線型シュレディンガー方程式やKdV方程式を始めとする非線型分散方程式、非線型波動方程式や非線型クライン・ゴルドン方程式を始めとする非線型双曲型方程式、および非線型ディラック方程式の様な方程式系について、相互作用の幾何学的・解析学的研究を通して、解の様々な時空大域的振舞いを解明する事が出来た。
非線型シュレディンガー方程式では、空間3次元、反撥型非線型項の下でエネルギー散乱の漸近完全性を証明した。データが小さい場合の散乱理論については、空間次元、ソボレフ指数、非線型項の斉次冪の三者間の成す臨界等式の下で成立する事が、非線型シュレディンガー方程式の場合には良く知られていたが、本研究では斉次冪でない場合にも拡張できる事を示した。この考え方を推し進めて、小さなデータで非斉次相互作用の場合の散乱理論を非線型波動方程式、非線型クライン・ゴルドン方程式、非線型シュレデインガー方程式、非線型ディラック方程式について、統一的に論じる事に成功した。
本研究では、シュレディンガー方程式の様な非相対論的方程式を相対論的方程式の光速無限大に於る極限方程式と見做す為の数学的基礎づけも行なった。特にクライン・ゴルドン複素スカラー場に位相変調とスケール変換を施し光速を無限大にした場がシュレディンガー場である事をエネルギー空間H^1(R^3)の枠組で証明した。同様な試みは、ディラック場でH^3(R^3)【cross product】C^4(s>1)の枠組で完成したが、臨界の場合(s=1)ではどうなるのか現在の所不明である。
また、スケール不変性を持つ波動場は、ミンコフスキ空間で特別な幾何学的特徴を持っているが、解析的には原点、無限遠点、光錐曲面上の特異性によりその取扱いが大変困難であった。本研究では、その困難を時空の重み付き弱ルベーグ空間を導入する事で効率的に制御する事が出来た。

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配分額：10500000円 （ 直接経費：10500000円 ）

代表者はMorse(最急勾配)流を構成し、その時間無限大の極限として一般臨界点解析を行うべく「初期条件から始めて、逐次変分汎函数を導入し、その最小化函数を求めることにより、その極限としてMorse流を構成する」に思い至り、これを「離散Morse流法」として提案した。「離散時間ごとで最小化性を活用出来る」離散Morse流の方法に新たな数理解析が見出されると思う。2年間の研究企画のもとで次の研究課題を中心に成果を纏めることができた。(1)変分解析を利用できる離散Morse流法は「係数に対する滑らかさの弱い仮定」のもとで使えるため、特異点をその本質とする液晶・超伝導等物質科学問題の数理解析に加え、「滑らかでない多様体上での変分問題、非線形波動」に、また流れに沿う積分汎関数を導入することにより不均質媒質中のNavier-Stokes方程式の解の構成問題にも適用される。(2)「局所積分評価・各点評価」を特徴とするこの解析は「大域的積分評価」の所謂有限要素解析とは異なる局所性を精密に解析するものであり、数値解析の基礎理論ともなるものと思う。Pisa,St.Petersburgなどでも離散問題の局所正則性解析は成されていないようである。(3)離散モース流の近似に依存しないDeGiorgi・Nash・Moser,Campanato評価を得ることが出来た。差分近似に依存しないこれら正則性評価は放物型方程式の解の構成問題に直接用いることが出来る。これら差分解の評価が解の構成に直接適用出来ると言う意味において放物型偏微分方程式のアプリオリ評価とは異なるものであり、また「離散Morse流法」に実体をあらしめているものである。三沢正史はp-調和写像変分問題のMorse流に取り組み正則性及び部分正則性の詳細な解析を行いMorse流の構成にも成功している。これは調和写像の対応する成果と比して自然なものである。小俣正朗は各種変分問題のMorse流の構成を行うべくその数理解析と共に数値解析・実験で多くの試みをした。その中にあって離散Morse流法による数値解析には収束性において「変分汎関数の最小化性」が顕著な働きを示すことを見出している。この企画の課題の一つである非線形最適化のアルゴリズム・プログラミング・ソフトウェアー作りにおいて柏木将宏は自身のアルゴリズムを整理しそのプログラミングを行いソフトウェアー化した。
(http://srg.pi.cuc.ac.jp/~kasiwagi/numeric/20040221/)

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配分額：3300000円 （ 直接経費：3300000円 ）

(i)磁場の効果を含むGinzburg-Landau方程式の非自明な安定解の存在について研究した.3次元の非一様な薄膜領域においてパターン形成が起こることを示した.さらに3次元問題が薄さの極限においてどのような2次元の問題に還元するかを特徴付けた(神保森田).2次元の問題においては凸領域においてパターン形成が生じないことを証明した(神保,P.Sternberg).
(ii)磁場の効果をもたないGinzburg-Landau方程式の時間発展問題において特異極限が繰り込みエネルギーの勾配系(ODE)に収束することはF.H.Lin, Jerrard-Sonerらによって研究されボルテクス運動が得られたが,我々はノイマン問題において勾配系のさらに簡約された表現を得た.また、具体的な円板,凸領域でのボルテクス運動をこのODEを通して調べた(神保,森田).
(iii)領域変形とラプラシアンあるいは不連続係数をもつ2階楕円型作用素の固有値摂動を研究した(神保小杉).
(iv)Allen-Cahn型の変分問題(ギンツブルグ・ランダウ型)エネルギーにおいて境界形状に関する条件のもとで相転移界面の研究し進展を見た(利根川).
(v)異方的な効果をもつ界面発展方程式を研究し成果を上げた(利根川).
(vi)極小曲面,また,波動方程式に関する自由境界問題を研究し解の正則性や境界の解析を行った(小俣).
(vii)双曲型のギンツブルグ・ランダウ型方程式について解を解析した.特にボルテクスの運動を調べた.この過程で数値計算を行い具体的な解の知見を得さらなる課題の探求を行った.また,その偏微分方程式について離散勾配流の方法を適用した.そいて他の数値計算法に対するアドバンテージを調べた(小俣).

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配分額：2000000円 （ 直接経費：2000000円 ）

当該研究では物質が液体及び気体等の異なる2つの相を安定維持するような状態の重要な数理モデル化のひとつであるファンデルワールスのフェイズフィールドモデルの解析を主目標としている。物質の状態を表すために、表面張力効果を持つ特異摂動項を持つような非凸エネルギー汎関数をここでは考える。相分離面の厚みを表すパラメターによる停留点の漸近挙動が当初考えられた。予備的な結果としてJ.Hutchinsonとの共同研究により、相分離界面はパラメターが十分小さい時には定平均曲率曲面にハウスドルフ距離の意味で近いことが示された。これは以前知られていた結果がエネルギー最小解のみの知見であることと異なり、一般停留点に対しての結果であることが特記される。その後オイラー・ラグランジェ方程式におけるラグランジェ乗数が関数である場合について研究した。これは変数化学ポテンシャル項を考察した事にあたり、極限相分離界面の平均曲率値がこの化学ポテンシャルによって決定される事を示した。(研究発表1)研究集会における意見交換で特に応用数学者との情報交換を行い、当該研究に関連する問題としてリーマン多様体上での特異摂動、解析と、サイン-ゴードン方程式の不安定回転解との関係が指てきされ、現在リーマン多様体版の研究成果をあげつつある。

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配分額：4200000円 （ 直接経費：4200000円 ）

Morse最急勾配流を構成し、その時間無限大の極限として一般臨界点解析を行うべく「初期条件から始めて、逐次変分汎函数を導入し、その最小化函数を求めることにより、その極限としてMorse流を構成する」に思い至り、これを「離散Morse流法」として提案した。「離散時間ごとで最小化性を活用出来る」離散Morse流の方法に新たな数理解析が見出されると思う。3年間の研究企画のもとで次のことが5つの論文に纏められた。(1)変分解析を利用できる離散Morse流法は「係数に対する滑らかさの弱い仮定」のもとで使えるため、特異点をその本質とする液晶・超伝導等物質科学問題の数理解析に加え、「滑らかでない多様体上での変分問題、非線形波動」に、また不均質媒質中のNavier-Stokes方程式にも適用される。(2)「局所積分評価・各点評価」を特徴とするこの解析は「大域的積分評価」の所謂有限要素解析よりは精密な解析であり、数値解析の基礎理論ともなるものと思う。Pisa, St.Peterburgなどでも離散問題の正則性解析は成されていないようである。(3)離散モース流の近似に依存しないDeGiorgi・Nash・Moser, Campanato評価などを得ることが出来た。これらの評価は解の構成問題に用いることが出来ると言う意味において放物型偏微分方程式に対するそれら評価よりは重要なものであり、「離散Morse流法」を実体あらしめるものである。

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配分額：1600000円 （ 直接経費：1600000円 ）

流体現象を中心とした非線形現象に現れる種々の非線形偏微分方程式の可解性及び解の定性的性質を調べてきた.1998年度の研究成果は以下の通りである.
渦糸方程式に関しては,軸流を伴う場合も伴わない場合も,その初期値問題及び周期境界条件を課した初期-境界値問題の時間大域解の一意存在が証明できた(Publ.RIMS Kyoto Univ.に掲載).二相問題と自由境界問題が物理学上も数学上も興味ある今後の重要な問題であるが,それに関しては次の結果が得られた.
(1) 圧縮性Euler方程式(渦あり)の二次元亭状領域での一相自由境界問題(深さが無限の時)の時間局所解の一意存在が証明できた(Adv.Math.Sci.Appl.に掲載予定).
(2) (1)と同じ問題が有限の深さの場合にも自由表面上で表面張力が作用する,しないに拘らず唯一つの時間局所解を持つこと及び表面張力係数が0に収束する時対応する解も収束することが証明できた.これらの結果は現在投稿準備中である.
(3) Boussinesq近似をした非圧縮性Navier-Stokes方程式に対する一相Stefan問題の古典解の存在が証明できた(SIAM J.Math.Anal.に掲載予定).
Steran問題とも関連するが,相転位を記述するモデル方程式であるChan-Hilliard方程式の特徴は空間4階微分を含むことにあり,そのためその数値解析はまだ十分にはなされていない.離散格子上でいくつかのパターンについて調べた結果が情報処理学会論文誌に掲載された.
相転位現象は自由エネルギーの形により考える方程式は変わってくるが,いずれにしてもエネルギー最小化関数の等高線集合を用いて議論が重要である.その基礎理論を構築する一環として,楕円-放物型差分微分方程式の解の正則性を変分法を用いて調べた(Z.Angew.Math.Phys.に掲載).さらに詳しい解の性質を調べるには何らかの仮定のもとで常微分方程式に帰着するのが常套手段である.その基礎理論として,2変数Bessel関数の満たす偏微分方程式系の不確定型特異集合のまわりで解の漸近挙動を調べた(Tohoku Math.J.に掲載).

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配分額：2900000円 （ 直接経費：2900000円 ）

Γ(離散)群,Mを微分可能多様体Mとしたとき,ΓからMの微分同相群Diff(M)への準同型をΓのMへの(滑らかな)作用と言う.与えられた群Γおよび微分可能多様体Mに対し,ΓのMへの作用全体A(Γ,M)を記述せよ-これが群作用の理論の主要問題のひとつであり,しいては本研究の最終目的でもある.とくにこの作用全体の空間A(Γ,M)が適当な意味で「小さい」ことを主張するような結果を,(広い意味での)群作用の剛性と呼ぶ.
〈不変幾何構造〉群作用の剛性問題に対するひとつのアプローチとして,与えられた群作用に関し不変な幾何構造を見いだすことにより群作用の剛性を示す,という方法が考え得る.この方法が実際に適用できる例を新たに見いだした.
〈葉層化多様体上の大域解析〉群作用の剛性はしばしばある葉層化多様体上の大域解析学的な問題に帰着される.そこでとくにある種の葉層化た様態に対し,その接ラプラシアンのスペクトルの特徴に関し部分的な結果を得た.
〈微分同相群の無限次元等質空間における幾何・トポロジー〉微分可能多様体に対し,その微分同相群を考える.この微分同相群が推移的に作用するある種の無限次元等質空間のトポロジー・幾何に関する考察を,群作用に対する剛性問題を念頭において行った.
この他に研究分担者による研究成果として,ある無限次元空間内の無限次元極小曲面の研究,Yang-Mills勾配流のblow-upに関する研究(以上前田),スピンシステムの流体極限(鈴木),ある種の自由境界値問題に対する正則性定理の証明(利根川)などがある.

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